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Função (matemática): mudanças entre as edições
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{{ver desambiguação|Função}}
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[[Ficheiro:Venn diagram of a function.svg|miniaturadaimagem|314x314px|Representação num diagrama de setas de uma função <math display="inline">f:A\to B.</math> ]]
[[Imagem:Function color example 3.svg|thumb|Uma função que associa cada uma das formas coloridas à sua cor.]]
Uma '''função''' ou '''aplicação''' é uma [[Relação (matemática)|relação]] de um [[conjunto]] <math display="inline">A</math> com um conjunto <math display="inline">B.</math> Usualmente, denotamos uma tal função por <math display="inline">f:A\to B,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">A</math> é chamado de domínio, <math display="inline">B</math> é chamado de contradomínio e <math display="inline">y = f(x)</math> expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos <math display="inline">x\in A</math> com os elementos <math display="inline">y\in B.</math> Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: [[função trigonométrica]], [[função linear|função afim (ou função polinomial do 1° grau)]], [[função modular]], [[função quadrática]] (ou função polinomial do 2° grau), [[função exponencial]], [[função logarítmica]], [[função polinomial]], dentre inúmeras outras.<ref>STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.</ref><ref>FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.</ref><ref name=":0">{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções|ultimo=Iezzi|primeiro=Gelson|editora=Atual|ano=1977|local=São Paulo|paginas=73-74A, 179A-180A|acessodata=}}</ref>
Uma '''função''' é uma [[Relação (matemática)|relação]] de um [[conjunto]] <math display="inline">A</math> com um conjunto <math display="inline">B.</math> Usualmente, denotamos uma tal função por <math display="inline">f:A\to B,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">A</math> é chamado de domínio, <math display="inline">B</math> é chamado de imagem e <math display="inline">y = f(x)</math> expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos <math display="inline">x\in A</math> com os elementos <math display="inline">y\in B.</math> Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: [[função trigonométrica]], [[função linear|função afim (ou função polinomial do 1° grau)]], [[função modular]], [[função quadrática]] (ou função polinomial do 2° grau), [[função exponencial]], [[função logarítmica]], [[função polinomial]], dentre inúmeras outras.<ref>STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.</ref><ref>FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.</ref><ref name=":0">{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções|ultimo=Iezzi|primeiro=Gelson|editora=Atual|ano=1977|local=São Paulo|paginas=73-74A, 179A-180A|acessodata=}}</ref>


== Conceito ==
== Conceito ==
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Outra maneira de dizer isto é afirmar que <math display="inline">f</math> é uma [[relação binária]] entre os dois conjuntos tal que <math display="inline">f</math> é '''unívoca,''' i.e. se <math display="inline">b = f(a)</math> e <math display="inline">c = f(a),</math> então <math display="inline">b = c.</math> Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto <math display="inline">A</math> se relaciona com algum elemento de <math display="inline">B.</math>
Outra maneira de dizer isto é afirmar que <math display="inline">f</math> é uma [[relação binária]] entre os dois conjuntos tal que <math display="inline">f</math> é '''unívoca,''' i.e. se <math display="inline">b = f(a)</math> e <math display="inline">c = f(a),</math> então <math display="inline">b = c.</math> Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto <math display="inline">A</math> se relaciona com algum elemento de <math display="inline">B.</math>


=== Exemplos: ===
=== Exemplos ===
Vejamos as seguintes relações <math display="inline">f:X\to Y:</math>
Vejamos as seguintes relações <math display="inline">f:X\to Y:</math>
{|
{|
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== Exemplo de aplicação ==
== Exemplo de aplicação ==
Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo ([[Crescimento demográfico (equação diferencial)|modelos de crescimento demográfico]]). Por exemplo, denotando o tempo por <math>t</math> e o número de indivíduos em um dado tempo <math display="inline">t</math> por <math display="inline">y,</math> escrevemos <math display="inline">N:\mathbb{R}^+\to \mathbb{N},</math> <math display="inline">y = N(t).</math> Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como <math display="inline">N,</math> o conjunto de partida é o conjunto dos [[Número real|números reais]] não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos [[números naturais]] (assumindo que o número de indivíduos é sempre um [[número inteiro]] não negativo).
Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo ([[Crescimento demográfico (equação diferencial)|modelos de crescimento demográfico]]). Por exemplo, denotando o tempo por <math>t</math> e o número de indivíduos em um dado tempo <math display="inline">t</math> por <math display="inline">y,</math> escrevemos <math display="inline">N:\mathbb{R}^+\to \mathbb{N},</math> <math display="inline">y = N(t).</math> Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como <math display="inline">N,</math> o conjunto de partida é o conjunto dos [[Número real|números reais]] não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos [[números naturais]] (assumindo que o número de indivíduos é sempre um [[número inteiro]] não negativo).
ª ==
== Elementos de uma função ==
Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">X</math> é seu conjunto de partida, <math display="inline">Y</math> é seu contradomínio e <math display="inline">y = f(x)</math> denota sua lei de correspondência.
Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos <math display="inline">f:X\to Y,</math> <math display="inline">y = f(x),</math> onde <math display="inline">f</math> é o nome da função, <math display="inline">X</math> é seu conjunto de partida, <math display="inline">Y</math> é seu contradomínio e <math display="inline">y = f(x)</math> denota sua lei de correspondência.


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=== Exemplo ===
=== Exemplo ===
Seja <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2,</math> onde o conjunto de partida é dada por<math display="inline">C = \{-3,-2,-1,0\}</math> e o contradomínio por<math display="inline">CD = \{0,1,2,\dotsc,9\}.</math> Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, <math display="inline">Dom(f) = C</math> e <math display="inline">Im(f) = \{0,1,4,9\}.</math> Veja a ilustração.
Seja <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2,</math> onde o conjunto de partida é dada por <math display="inline">C = \{-3,-2,-1,0\}</math> e o contradomínio por<math display="inline">CD = \{0,1,2,\dotsc,9\}.</math> Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, <math display="inline">Dom(f) = C</math> e <math display="inline">Im(f) = \{0,1,4,9\}.</math> Veja a ilustração.
[[Imagem:funcoes x2.svg|thumb|250px|Representação em diagrama de Venn da função <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2.</math> A imagem de <math display="inline">f</math> está delineada por uma linha tracejada.]]
[[Imagem:funcoes x2.svg|thumb|250px|Representação em diagrama de Venn da função <math display="inline">f:C\to CD,</math> <math display="inline">y = x^2.</math> A imagem de <math display="inline">f</math> está delineada por uma linha tracejada.]]


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* [[Função inversa]]
* [[Função inversa]]
* [[Função linear]]
* [[Função linear]]
* [[Função modular]]
* [[Função meromorfa]]
* [[Função meromorfa]]
* [[Função monótona]]
* [[Função monótona]]
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== História ==
== História ==
O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do [[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo]].<ref>"The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". ({{harvnb|Ponte |1992}})</ref><ref name="Kleiner 20092">{{citar livro||último =Kleiner|primeiro =Israel|capítulo=Evolution of the Function Concept: A Brief Survey|editor1=Marlow Anderson|editor2=Victor Katz|editor3=Robin Wilson|título=Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History|url=http://books.google.com/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA15|ano=2009|publicado=MAA|isbn=978-0-88385-569-0|páginas=14–26}}</ref> O termo "função" foi introduzido por [[Gottfried Leibniz]] em uma de suas cartas data em 1673,  na qual ele descreve a [[declividade]] de uma curva em um ponto específico.<ref name=":02">Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" ({{harvnb|Eves |1990 |p=234}}).</ref> Na antiguidade, embora não se conhece o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como [[Nicole d'Oresme|Oresme]].<ref>"...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." ({{harvnb|Medvedev|1991|pages=29–30}})</ref>
O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do [[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo]].<ref>"The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". ({{harvnb|Ponte |1992}})</ref><ref name="Kleiner 20092">{{citar livro||último =Kleiner|primeiro =Israel|capítulo=Evolution of the Function Concept: A Brief Survey|editor1=Marlow Anderson|editor2=Victor Katz|editor3=Robin Wilson|título=Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History|url=http://books.google.com/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA15|ano=2009|publicado=MAA|isbn=978-0-88385-569-0|páginas=14–26}}</ref> O termo "função" foi introduzido por [[Gottfried Leibniz]] em uma de suas cartas, datada de 1673,  na qual ele descreve a [[declividade]] de uma curva em um ponto específico.<ref name=":02">Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" ({{harvnb|Eves |1990 |p=234}}).</ref> Na antiguidade, embora não se conheça o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como [[Nicole d'Oresme|Oresme]].<ref>"...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." ({{harvnb|Medvedev|1991|pages=29–30}})</ref>


Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por [[Expressão matemática|expressões analíticas]].<ref name="Bourbaki20032">{{citar livro|autor =N. Bourbaki|título=Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory|url=http://books.google.com/books?id=dtYLvM02cRYC&pg=PA154|data=18 de setembro de 2003|publicado=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-65340-0|páginas=154–}}</ref> Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da [[Análise matemática|Análise Matemática]] por [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] e outros, a reformulação da [[Geometria]] em termos da análise e a invenção da [[Teoria dos conjuntos|Teoria dos Conjuntos]] por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos [[Nikolai Lobachevsky]], [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] e [[Dedekind]].<ref name=":12">"On the vanishing of trigonometric series," 1834 ({{harvnb| Lobachevsky |1951 |pages=31–80}}).</ref><ref name=":22">Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 ({{harvnb|Dirichlet|1889|pages=135–160}}).</ref><ref name=":32">"By a mapping φ of a set ''S'' we understand a law that assigns to each element ''s'' of ''S'' a uniquely determined object called the ''image'' of ''s'', denoted as φ(''s''). {{harvnb| Dedekind  |1995|page=9}}</ref>
Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por [[Expressão matemática|expressões analíticas]].<ref name="Bourbaki20032">{{citar livro|autor =N. Bourbaki|título=Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory|url=http://books.google.com/books?id=dtYLvM02cRYC&pg=PA154|data=18 de setembro de 2003|publicado=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-65340-0|páginas=154–}}</ref> Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da [[Análise matemática|Análise Matemática]] por [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] e outros, a reformulação da [[Geometria]] em termos da análise e a invenção da [[Teoria dos conjuntos|Teoria dos Conjuntos]] por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos [[Nikolai Lobachevsky]], [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] e [[Dedekind]].<ref name=":12">"On the vanishing of trigonometric series," 1834 ({{harvnb| Lobachevsky |1951 |pages=31–80}}).</ref><ref name=":22">Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 ({{harvnb|Dirichlet|1889|pages=135–160}}).</ref><ref name=":32">"By a mapping φ of a set ''S'' we understand a law that assigns to each element ''s'' of ''S'' a uniquely determined object called the ''image'' of ''s'', denoted as φ(''s''). {{harvnb| Dedekind  |1995|page=9}}</ref>
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*[[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo diferencial e integral]]
*[[Cálculo Diferencial e Integral|Cálculo diferencial e integral]]
*[[Funcional]]
*[[Funcional]]
*[[Função se então (informática)]]
*[[Função generalizada]]
*[[Função generalizada]]
*[[Funtor]]
*[[Funtor]]
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{{Portal3|Matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
 
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[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]

Edição atual tal como às 15h37min de 15 de dezembro de 2021

Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de Função, veja Função (desambiguação).
Uma função que associa cada uma das formas coloridas à sua cor.

Uma função é uma relação de um conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} com um conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B.} Usualmente, denotamos uma tal função por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:A\to B,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x),} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é o nome da função, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} é chamado de domínio, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} é chamado de imagem e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x)} expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\in A} com os elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\in B.} Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função trigonométrica, função afim (ou função polinomial do 1° grau), função modular, função quadrática (ou função polinomial do 2° grau), função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras.[1][2][3]

Conceito

As funções são definidas por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} (às vezes denominado variável independente) um único valor da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f(x)} (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc.. Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no espaço Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathbb{R}^2,} geometricamente representado no plano cartesiano). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} (valor do argumento).[3][4][5]

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y} do contradomínio para os quais existe pelo menos um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} no domínio tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=f(x)} (i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} se relaciona com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y} ), é o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da função.[5]

Definição formal

Sejam dados os conjuntos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B,} uma relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:A\to B} e o conjunto dos pares ordenados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mathbb{P} = \{(a,b)\in A\times B; a~\mbox{se relaciona com}~b~\mbox{por}~f\}.} Dizemos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é uma função se, e somente se, para todos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b_1 \neq b_2\in B} com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle (a_1, b_1), (a_2, b_2)\in \mathbb{P},} temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a_1\neq a_2 .} Ou, em outras palavras, para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\in A} existe no máximo um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b\in B } tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} se relaciona com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b.} [3] Assim sendo, escrevemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b = f(a)} quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} se relaciona com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b} por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f.} O conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} é chamado de conjunto de partida e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} é chamado de contradomínio da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f.}

Outra maneira de dizer isto é afirmar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é unívoca, i.e. se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b = f(a)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c = f(a),} então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b = c.} Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} se relaciona com algum elemento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B.}

Exemplos

Vejamos as seguintes relações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y:}

Naofuncao1.png Esta não é uma função, pois o elemento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 3\in X} é associado (se relaciona) com dois elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Y,} a saber com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c,d\in Y.} Esta é, entretanto, um exemplo das chamadas funções multivaloradas.
Naofuncao2.png Este é um exemplo de uma função dita parcial (função parcial), pois há pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 1\in X,} que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio (conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Y} ).
Funcao venn.svg Este é um exemplo de uma função dita discreta (veja, função discreta). Sua lei de correspondência pode ser escrita da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.}

Exemplo de aplicação

Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo (modelos de crescimento demográfico). Por exemplo, denotando o tempo por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} e o número de indivíduos em um dado tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y,} escrevemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N:\mathbb{R}^+\to \mathbb{N},} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = N(t).} Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N,} o conjunto de partida é o conjunto dos números reais não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos números naturais (assumindo que o número de indivíduos é sempre um número inteiro não negativo).

Elementos de uma função

Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x),} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é o nome da função, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle X} é seu conjunto de partida, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Y} é seu contradomínio e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x)} denota sua lei de correspondência.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado domínio da função. Mais precisamente, o domínio de uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x),} é o conjunto:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Dom(f) := \{x\in X; \exists y\in Y ~ \mbox{com} ~ y = f(x)\}\subset X} Também, geralmente, nem todos os elementos do contradomínio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam são elementos da chamada imagem da função. A imagem de uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x),} é o conjunto:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Im(f) := \{y\in Y; \exists x\in X ~\mbox{com} ~ y = f(x)\}\subset Y}

Exemplo

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:C\to CD,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = x^2,} onde o conjunto de partida é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle C = \{-3,-2,-1,0\}} e o contradomínio porFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle CD = \{0,1,2,\dotsc,9\}.} Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Dom(f) = C} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Im(f) = \{0,1,4,9\}.} Veja a ilustração.

Representação em diagrama de Venn da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:C\to CD,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = x^2.} A imagem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} está delineada por uma linha tracejada.

Gráfico de uma função

Esboço do gráfico de uma função arbitrária de uma variável com representação do par ordenado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle (a,f(a)).}
Ver artigo principal: Gráficos de função

O gráfico de uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x),} é o conjunto:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Graf(f) := \{(x,y)\in X\times Y; y = f(x)\}} i.e, é o conjunto dos pares ordenados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle (x,y)} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x).}

Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).

Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle (x,f(x))} no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).

Classificação quando a imagem

Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funções injetoras, funções sobrejetoras e funções bijetoras. Seja dada a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:X\to Y,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y = f(x).} Por definição, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_1\neq x_2 \in Dom(f)} temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f(x_1)\neq f(x_2).} A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f} é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Im(f) = Y.} Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.

Tipo de função Característica da função Conjunto imagem Explicação visual Exemplo Admite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetiva Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ≠ Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} no domínio tem-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ≠ Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(y)} no contradomínio. Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
Funcao venn.svg
 A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rightarrow} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=2x} , é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. Nem sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetiva Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Surjection.svg
 A função , é sobrejetiva. Nem sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetiva São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Bijection.svg
 A função , é bijetiva. Sim.

Funções implícitas e explicitas

Dizemos que uma função é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores podem ser expressados pela variável independente i.e., quando temos uma relação da forma Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como onde denota uma expressão envolvendo e [6]

Exemplo

Seja dada por Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação define implicitamente a função que associa um número real não nulo ao seu inverso. Ou seja, tal função está, aqui, definida implicitamente por Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função de forma explícita, escrevendo

Composição de funções

Ver artigo principal: Composição de funções

Dadas uma função e uma função com definimos a função composta de com por Analogamente, quando também podemos definir a função composta de com dada por [3]

Exemplo

Considere as seguintes funções e dada por:

e

Notamos que e, portanto, podemos definir a função composta por:

Também, como temos a composição dada por:

Outras classificações

  1. REDIRECIONAMENTO Predefinição:VT

Função são classificadas quanto a uma séries de propriedades (características) além das já mencionadas. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir.

Predefinição:Div col end

História

O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do Cálculo.[7][8] O termo "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em uma de suas cartas, datada de 1673, na qual ele descreve a declividade de uma curva em um ponto específico.[9] Na antiguidade, embora não se conheça o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como Oresme.[10]

Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por expressões analíticas.[11] Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da Análise Matemática por Weierstrass e outros, a reformulação da Geometria em termos da análise e a invenção da Teoria dos Conjuntos por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos Nikolai Lobachevsky, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Dedekind.[12][13][14]

Ver também

Referências

  1. ↑ STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
  2. ↑ FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Iezzi, Gelson (1977). Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. pp. 73–74A, 179A–180A 
  4. ↑ STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
  5. ↑ 5,0 5,1 FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
  6. ↑ Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics. Berlin: Springer. 120 páginas 
  7. ↑ "The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". (Predefinição:Harvnb)
  8. ↑ Kleiner, Israel (2009). «Evolution of the Function Concept: A Brief Survey». In: Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson. Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History. [S.l.]: MAA. pp. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0 
  9. ↑ Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" (Predefinição:Harvnb).
  10. ↑ "...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." (Predefinição:Harvnb)
  11. ↑ N. Bourbaki (18 de setembro de 2003). Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0 
  12. ↑ "On the vanishing of trigonometric series," 1834 (Predefinição:Harvnb).
  13. ↑ Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 (Predefinição:Harvnb).
  14. ↑ "By a mapping φ of a set S we understand a law that assigns to each element s of S a uniquely determined object called the image of s, denoted as φ(s). Predefinição:Harvnb

Bibliografia

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
  • Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.
  • Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. vol. 1, 9. ed., Atual Editora:São Paulo. ISBN 9788535716801.

Ligações externas

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