Função de Bessel

A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:

$x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\ p^{2})y=0,$

para um número real $p$ . Ela é denominada equação de Bessel de índice $p$.

Definição

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes. Neste caso, denominamos funções de Bessel de primeira espécie e segunda espécie, sendo a segunda também conhecida como função de Bessel de Neumann. Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências: 

O ponto $x_{0}=0$ é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução: 

$y=(x-x_{0})^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ 

Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo $x_{0}$por zero: 

$y=x^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},a_{0}\neq 0$ 

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r},a_{0}\neq 0$ 

Substituindo a solução na equação, temos: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}-\sum _{n=0}^{\infty }p^{2}a_{n}x^{n+r}=0$ 

Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }((n+r)^{2}-p^{2})a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}=0$ 

No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que $n=k-2$ e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k+r}=0$ 

Podemos agora substituir k por n no segundo somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n+r}=0$ 

Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2:$(n+r)(r-p)a_{0}x^{r}+(r+p+1)(r-p+1)a_{1}x^{r+1}+\sum _{n=2}^{\infty }((n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2})x^{n+r}=0$Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que $a_{0}\neq 0$ : 

$(r+p)(r-p)=0$  

$(r+p+1)(r-p+1)a_{1}=0$ 

$(n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2}=0$ 

Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes: 

$r_{1}=p$ 

$r_{2}=-p$ 

Usando a primeira solução, ou seja $r_{1}=p$, e substituindo na segunda equação: 

$(2p+1)a_{1}=0$ 

Desta forma obtemos: 

$a_{1}=0$ 

Substituindo $r_{1}=p$ na terceira equação: 

$(n+2p)na_{n}+a_{n-2}=0$ 

Esta igualdade é valida para n=2,3,4,... 

Isolando o termo $a_{n}$ na equação, obtemos: 

$a_{n}=-{\frac {a_{n-2}}{n(n+2p)}}$ 

Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos $a_{2}$ ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2: 

$a_{2}=-{\frac {a_{0}}{2(2+2p)}}$  

Para descobrir $a_{4}$ fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4: 

$a_{4}=-{\frac {a_{2}}{4(4+2p)}}$ 

Colocamos o valor de $a_{2}$ já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima: 

$a_{4}={\frac {a_{0}}{2.4(2+2p)(4+2p)}}$ 

Em geral, 

$a_{2n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{n!(1+p)(2+p)...(n+p).2^{2n}}}$ 

De maneira geral ao valor de $a_{0}$ é atribuído: 

$a_{0}={\frac {1}{2^{p}\Gamma (1+p)}}$ 

Utilizando a identidade: 

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ 

Temos que $a_{2n}$ que pode ser escrito da seguimte forma: 

$a_{2n}=-{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)2^{2n+p}}}$ 

A primeira solução da equação de Bessel é: 

$y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$ 

A função obtida é denominada função de Bessel de 1ª espécie de índice p e nos referimos a ela como $J_{p}(x)$: 

Gráfico das funções de Bessel de primeira espécie para α= 0, 1, 2

Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2

$J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$ 

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:

$J_{m}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+m)!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+m}.$

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para $\alpha$ inteiro, tem a forma:

$Y_{m}(x)={\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}.$

Casos particulares

As funções de Bessel para $m=\pm {\frac {1}{2}}$ podem ser escritas em termos de funções elementares:

$J_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}sen(x)$ e $J_{-{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}cos(x)$

Transformada de Laplace

Seja a Equação de Bessel $J_{0}(at){=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {at}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}$ , então temos que sua transformada de Laplace é dada por:${\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\frac {({2n}!)}{s^{2n+1}}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl [}1-{\frac {1}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{4}+...{\Bigr ]}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}1+{\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}{\frac {s^{2}+a^{2}}{s^{2}}}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$

Propriedades

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

1. Para $p$ inteiro: $J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)$
2. Para $p$ não inteiro: $J_{p}(x)eJ_{-p}(x)$ são linearmente independentes
3. ${\frac {d}{dz}}\{J_{p}(z)\}=J_{p-1}(z)-{\frac {p}{z}}J_{p}(z)$
4. ${\frac {d}{dz}}\{z^{p}J_{p}(z)\}=z^{p}J_{p-1}(z)$

Aplicações

• Solução das equações de Laplace e Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas;
  • Ondas eletromagnéticas;
  • Análise de sinais modulados em frequência (FM);
  • Condução de calor;
  • Vibração;
  • Difusão.
  • Processamento de sinais (filtro Bessel).
  • Soluções para a equação de Schrödinger radial (em coordenadas esféricas e cilíndricas) de uma partícula livre.
  • Solução para os padrões de radiação acústica.
  • atrito em função da frequência em condutas circulares.
  • A dinâmica de corpos flutuantes.