Função de Weierstrass

O gráfico da função de Weierstrass é um fractal

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)$

onde $a\in (0,1)$ e $b$ é um inteiro positivo ímpar tal que:

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$

Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass

O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass

usando apenas noções relativas às séries de Fourier.

Teorema de Weierstrass

A função dita de Weierstrass definida por :

$W(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)$

onde $b\in (0,1)$ e $a$ é um inteiro positivo ímpar tal que

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$ ,é contínua em $\mathbb {R}$ e não diferenciável em qualquer ponto.

Continuidade de W

Observe que :

$b\in (0,1)$

implica :

$\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}={\frac {1}{1-b}}<\infty$.

Isso junto com

$sup_{x\in R}|b^{n}\cos(a^{n}\pi x)|\leq b^{n}$

nos permite estabelecer , usando o Weierstrass $M-test$, que

$\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)$

converge uniformemente para $W(x)$ em $\mathbb {R}$ .

A Continuidade de $W$ vem então da convergência uniforme das séries.

(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro ).

Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)

Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi

Quando:

$2N=b^{n}$, então

$\Delta _{2N}(W)-\Delta _{N}(W)=b^{n}\cos(a^{n}\pi x);$

Supondo que $W$ é diferenciável em $x_{0}$, obtemos o seguinte resultado :

$\Delta _{2N}(W)'(x_{0})-\Delta _{N}(W)'(x_{0})=(b^{n}\cos(a^{n}\pi x))'=O(\log N)$,

ou seja,

$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$, onde $|h|\leq c/N$.

Para obter a contradição, precisamos apenas escolher $h$ de modo que:

$|sen(a^{n}(x_{0}+h))|=1$ ;

Tomando:

$|h|=|\delta |/a^{n}$,

onde

$\delta =\pi (k+1/2)-a^{n}x_{0}$,

para algum $k\in Z$, temos:

$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=(ab)^{n}\rightarrow \infty$ quando $n\rightarrow \infty$ ,

pois

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$ .

Contradição,

pois :

$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$.

Portanto, $W$ não é diferenciável em $x_{0}$ .

Como $x_{0}\in \mathbb {R}$ é arbitrário,

temos que $W$ não é diferenciável em qualquer ponto.

Conclusão

A função de Weierstrass $W$ é contínua em todos os pontos de

$\mathbb {R}$ mas não é diferenciável em qualquer ponto de $\mathbb {R}$ .

Ligações externas

• http://www.wolframalpha.com/entities/mathworld/weierstrass_function/ei/zb/8y/^{[ligação inativa]}

Ver também

• Função de Liouville
• Função de Mertens
• Soma de Ramanujan

Referências

• Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
• Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116–117