Função simples

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, uma função simples é uma função mensurável que assume um conjunto finito de valores.

As funções simples são usadas como funções auxiliares na construção da integral de Lebesgue e na teoria de integração mais geral.

Definição

Seja $\left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)$ um espaço de medida, uma função $f:X\to \mathbb {R}$ é dita simples se puder ser escrita na forma:

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {X} _{E_{k}}(x)$

onde $E_{k}$ são conjuntos mensuráveis e $\mathrm {X} _{E_{k}}(x)$ é a função indicadora de $E_{k}$ em X.

Propriedades

• A soma, multiplicação por uma constante, bem como o produto de funções simples é novamente uma função simples.
• Se $f(x)\geq 0$ é uma função mensurável, então existe uma seqüência não-decrescente de funções simples $f_{n}(x)$ convergindo quase-sempre para $f(x)$