Função limitada

Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Função real limitada

Uma função real $f:D\to \mathbb {R}$ é limitada se existe uma constante $M\geq 0$ tal que:

$|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D$

Além disso, dizemos que $f$ é uma função limitada superiormente quando existe $M\in \mathbb {R}$ tal que:

$f(x)\leq M,\quad \forall x\in D$.

Analogamente, dizemos que $f$ é limitada inferiormente quando existe $m\in \mathbb {R}$ tal que:

$m\leq f(x),\quad \forall x\in D$.

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

Propriedades

Sejam duas funções $f$ e $g$ de contra-domínio real. Se $f$ é limitada, e se $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$, então $\lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0$.

Demonstração

Suponhamos que $g$ é uma função não-negativa. Se $g\equiv 0$ não há nada mais a fazer. Se $g$ é positiva, temos que como $f$ é limitada, então existe $M\in \mathbb {R}$, $M\geq 0$ tal que $|f(x)|\leq M$. Segue que:

$-M\leq f(x)\leq M$ e assim $-Mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$.

Logo:

$\lim _{x\rightarrow a}-Mg(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}Mg(x)$

$-M\lim _{x\rightarrow a}g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq M\lim _{x\rightarrow a}g(x)$

$0\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq 0$

Assim, pelo teorema do confronto, $\lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0$. O caso de $g$ negativa segue raciocínio análogo.

Observação

• Note que um funcional linear nunca é limitado neste sentido. O termo funcional linear limitado é um funcional que leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.