Teoria das categorias

Na matemática, a teoria das categorias provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de categoria, que é uma abstração do conceito de composição de funções, de functor, transformações entre categorias, e de transformação natural, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico".

O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, em 1945, em seu artigo "General Theory of Natural Equivalences". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na topologia algébrica e álgebra homológica, por Norman Steenrod, Alexander Grothendieck e outros. Em 1958, Daniel Kan descobre o conceito de functores adjuntos, que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática". Desde então, houve diversos desenvolvimentos.

Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de álgebra linear, álgebra abstrata e topologia, por exemplo.

Categoria

Ver artigo principal: Categoria (teoria das categorias)

Uma categoria Predefinição:Math consiste nos seguintes elementos:

• Uma coleção de objetos de Predefinição:Math.
• Para cada dupla Predefinição:Math de objetos, uma coleção de setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) Predefinição:Math até o contradomínio (ou destino) Predefinição:Math, para as quais são usadas a notações Predefinição:Math e Predefinição:Math.
• Para cada objeto Predefinição:Math, uma seta de Predefinição:Math até Predefinição:Math, chamada identidade Predefinição:Math.
• Para cada tripla de objetos Predefinição:Math, uma operação de composição, levando

  cada seta Predefinição:Math e cada seta Predefinição:Math a uma seta Predefinição:Math.

• Devem ser satisfeitas as igualdades:

  (Lei da identidade) Para todos objetos Predefinição:Math e todas as setas Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

  (Associatividade) Para todos objetos Predefinição:Math e todas as setas Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

Há, por exemplo, categorias:

• cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;
• cujos objetos são grupos, e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;
• cujos objetos são espaços topológicos, e cujos morfismos são funções contínuas;
• cujos objetos são os elementos de um conjunto pré-ordenado fixo Predefinição:Math, e tal que, para quaisquer objetos Predefinição:Math, o número de morfismos Predefinição:Math é exatamente um se Predefinição:Math, e zero se Predefinição:Math.
• cujos objetos são vértices de um grafo, e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.

Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções.

O diagrama acima é comutativo exatamente quando Predefinição:Math.

Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado diagrama comutativo quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.

Dualizar consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma categoria oposta. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um epimorfismo é um monomorfismo na categoria oposta, um coproduto é um produto na categoria oposta etc.

Tipos de morfismos

Ver artigo principal: Categoria (teoria das categorias)#Tipos de morfismos

Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como função injetiva e função sobrejetiva devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível.

	Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles.
— Saunders Mac Lane

Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo Predefinição:Math é chamado monomorfismo se e só se

para todo objeto Predefinição:Math e morfismos Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas. Já um morfismo Predefinição:Math é chamado seção se e só se existe Predefinição:Math tal que Predefinição:Math. Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos Predefinição:Math que são injetivos e tais que Predefinição:Math é a soma direta da imagem de Predefinição:Math com algum subgrupo de Predefinição:Math.

Dualizando, um morfismo Predefinição:Math é um epimorfismo se e só se

para todo objeto Predefinição:Math e morfismos Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math, vale Predefinição:Math.

Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão Predefinição:Math é um epimorfismo não sobrejetivo.

Como outro exemplo, um isomorfismo é um morfismo Predefinição:Math tal que há Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math e Predefinição:Math. Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os homeomorfismos.

Propriedade universal

Ver artigo principal: Propriedade universal

Construções como produto cartesiano, soma direta, e espaço funcional podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math, um objeto Predefinição:Math, junto a morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math, forma um sistema de produto categorial (binário) se e só se, para qualquer outro objeto Predefinição:Math e quaisquer morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math, existe único morfismo Predefinição:Math tal que Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Diagrama representado o produto categorial.

Dualmente, há o conceito de coproduto (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.

Uma propriedade universal é uma propriedade que envolve a existência de único morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem functores representáveis e limites e colimites.

Functor

Ver artigo principal: Functor

	[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição.
— Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane

Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias Predefinição:Math e Predefinição:Math, um functor (covariante) de Predefinição:Math até Predefinição:Math, escrito Predefinição:Math, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto Predefinição:Math, de um objeto Predefinição:Math,
• de uma atribuição, a cada morfismo Predefinição:Math, de um morfismo Predefinição:Math,

satisfazendo

• Predefinição:Math para cada objeto Predefinição:Math,
• Predefinição:Math para cada dupla de morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto Predefinição:Math e seu conjunto de partes Predefinição:Math (levando cada Predefinição:Math à função Predefinição:Math, de imagens de subconjuntos de Predefinição:Math); a correspondência entre cada anel comutativo Predefinição:Math e seu grupo de matrizes invertíveis Predefinição:Math de ordem Predefinição:Math.

Noutros casos, há um functor contravariante, atribuindo um morfismo Predefinição:Math a cada morfismo Predefinição:Math, e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada Predefinição:Math à função Predefinição:Math, de pré-imagens de subconjuntos de Predefinição:Math); a correspondência entre cada espaço vetorial e seu espaço dual; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de ideais primos.

Transformação natural

Ver artigo principal: Transformação natural (teoria das categorias)

	Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais.
— Peter Freyd

Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada Predefinição:Math espaço vetorial, há mapeamento linear natural Predefinição:Math de Predefinição:Math ao dual de seu dual, dado por Predefinição:Math. Mais precisamente, uma transformação natural entre functores Predefinição:Math é uma família de morfismos Predefinição:Math, para cada Predefinição:Math objeto de Predefinição:Math, satisfazendo

para qualquer morfismo Predefinição:Math, Predefinição:Math.

Diagrama comutativo da condição de naturalidade.

Eis exemplos:

• A projeção Predefinição:Math de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo subgrupo comutador) pode ser representada como uma transformação natural.
• A dualidade de Pontryagin pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural Predefinição:Math, para cada Predefinição:Math grupo abeliano localmente compacto, onde Predefinição:Math denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de Predefinição:Math a Predefinição:Math, grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.

Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de equivalência de categorias.

Adjunção

Ver artigo principal: Adjunção (teoria das categorias)

Uma adjunção entre functores Predefinição:Math e Predefinição:Math é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos Predefinição:Math de Predefinição:Math e Predefinição:Math de Predefinição:Math,

$$\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).$$

Neste caso, diz-se que Predefinição:Math é adjunto esquerdo e Predefinição:Math é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem:

• Sendo Predefinição:Math a categoria de conjuntos e Predefinição:Math a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo Predefinição:Math, a adjunção
  $$\hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))$$
  onde Predefinição:Math é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto Predefinição:Math, e Predefinição:Math é o conjunto de elementos do espaço vetorial Predefinição:Math.
• Sendo Predefinição:Math a categoria de conjuntos e Predefinição:Math a categoria de grupos, a adjunção
  $$\hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))$$
  onde Predefinição:Math é o grupo livre no conjunto Predefinição:Math, e Predefinição:Math é o conjunto de elementos do grupo Predefinição:Math.
• Sendo Predefinição:Math a categoria dos espaços métricos completos (cujos morfismos são os mapeamentos uniformemente contínuos) e Predefinição:Math a categoria dos espaços métricos, a adjunção
  $$\hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))$$
  onde Predefinição:Math é a completação do espaço métrico Predefinição:Math, e Predefinição:Math.
• Sendo Predefinição:Math a categoria dos grupos abelianos, e sendo Predefinição:Math grupo abeliano fixo, a adjunção
  $$\hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))$$
  onde Predefinição:Math denota o produto tensorial entre grupos abelianos, e Predefinição:Math denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo Predefinição:Math.
• Sendo Predefinição:Math a categoria dos espaços topológicos e Predefinição:Math a categoria dos espaços compactos de Hausdorff, a adjunção
  $$\hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))$$
  onde Predefinição:Math é a compactificação de Stone–Čech de Predefinição:Math, e Predefinição:Math.

Se um functor Predefinição:Math é adjunto esquerdo a Predefinição:Math, a composição Predefinição:Math faz parte de uma mônade em Predefinição:Math.

Aplicações

Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias.

• Functores são usados para expressar conceitos de topologia algébrica; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.
• Os teoremas do functor adjunto podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de grupos livres, monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da compactificação de Stone–Čech e de "maiores quocientes de Hausdorff".
• Como adjuntos esquerdos são functores cocontínuos, Predefinição:Math, onde Predefinição:Math denota o grupo livre, Predefinição:Math denota a união disjunta, e Predefinição:Math denota o produto livre (coproduto de grupos).
• Se Predefinição:Math é um Predefinição:Mathbimódulo, o functor Predefinição:Math é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é functor exato direito (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à álgebra homológica.
• O grupo Predefinição:Math dos [[inteiro p-ádico|inteiros Predefinição:Math-ádicos]] pode ser descrito como o limite do functor representado diagramaticamente por
  $$\cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p$$
  e o grupo Predefinição:Math de Prüfer pode ser descrito como o colimite do functor representado diagramaticamente por
  $$\mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots$$
• Mônades são usadas na linguagem de programação Haskell para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.
• Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um objeto inicial numa categoria envolvendo espaços de Banach, dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço Predefinição:Math das funções Lebesgue-integráveis no intervalo Predefinição:Math.

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• DUREN, Peter (1988). AMS History of Mathematics, Volume 1: A Century of Mathematics in America, Part I. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0124-4 
• EILENBERG, Samuel; MAC LANE, Saunders (1945). «General Theory of Natural Equivalences» (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. Consultado em 20 de abril de 2020 
• FREYD, Peter (1964). Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors. Col: Harper's Series in Modern Mathematics. [S.l.]: Harper & Row