Coequalizador (teoria das categorias)

Na teoria das categorias, coequalizador é o dual ao conceito de equalizador, e, a grosso modo, generaliza a uma categoria qualquer a noção de quociente por uma relação de equivalência.

Definição

Um coequalizador de dois morfismos paralelos Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math é um objeto Predefinição:Math junto a um morfismo Predefinição:Math, tal que Predefinição:Math, e tal que, para todo morfismo Predefinição:Math de Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math, existe único Predefinição:Math com Predefinição:Math. Isto é representado num diagrama comutativo:

$${\begin{array}{c c l}a&{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}&b&{\overset {u}{\rightarrow }}&e\\&&&{\underset {h}{\searrow }}&\downarrow \scriptstyle h'\\&&&&c\end{array}}$$

Sendo caso particular do colimite, coequalizador de dois morfismos paralelos, se existe, é único a menos de isomorfismo.

Exemplos

• O coequalizador de funções Predefinição:Math na categoria dos conjuntos é o quociente Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é a menor relação de equivalência em Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math para cada Predefinição:Math; a função Predefinição:Math será a projeção nas classes de equivalência.
• O coequalizador de morfismos Predefinição:Math na categoria dos grupos é o quociente de Predefinição:Math pelo menor subgrupo normal de Predefinição:Math contendo Predefinição:Math.

Coequalizador que cinde

Um diagrama de coequalizador que cinde é um diagrama de morfismos

$${\begin{array}{c c c c c}&{\overset {t}{\curvearrowleft }}&&{\overset {s}{\curvearrowleft }}\\x&{\overset {g}{\underset {f}{\rightrightarrows }}}&y&{\underset {h}{\rightarrow }}&z\end{array}}$$

tais que Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math. Neste caso, pode-se provar que Predefinição:Math é coequalizador de Predefinição:Math. (Com efeito, se Predefinição:Math, Predefinição:Math, e, se Predefinição:Math, Predefinição:Math.) Ainda mais, é coequalizador absoluto, isto é, para cada functor Predefinição:Math para qualquer categoria Predefinição:Math, Predefinição:Math é também coequalizador de Predefinição:Math.

Coequalizadores que cindem são usados no enunciado do teorema de monadicidade de Beck.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8