Homeomorfismo

Um homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha

Um homeomorfismo é a noção principal de igualdade em topologia,^{[carece de fontes]}, sendo o isomorfismo de espaços topológicos.

Definição

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua.

Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.

Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.

Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Exemplos

• No plano, um quadrado e uma circunferência são homeomorfos.
• Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas.
• Uma caneca e um donut são homeomorfos.

• Não basta que a função seja contínua e invertível: a função $f:[0,2\ \pi )\rightarrow S^{1}\,$ definida por $f(x)=(\sin x,\cos x)\,$ não é um homeomorfismo.

Resultados relevantes

• Sejam X compacto e Y Hausdorff. Dada uma função bijetiva e contínua $f:X\mapsto Y$, temos que $f$ é um homeomorfismo.

Outras noções de igualdade topológica

• Difeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Conjectura de Poincaré

Referências

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .