Functor

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.

Definição

Dadas categorias Predefinição:Math e Predefinição:Math, um functor de Predefinição:Math até Predefinição:Math, escrito Predefinição:Math, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto Predefinição:Math, de um objeto Predefinição:Math,
• de uma atribuição, a cada morfismo Predefinição:Math, de um morfismo Predefinição:Math, (equivalentemente, Predefinição:Math e Predefinição:Math)

satisfazendo

• Predefinição:Math para cada objeto Predefinição:Math,
• Predefinição:Math para cada dupla de morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Chama-se esse Predefinição:Math mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante de Predefinição:Math até Predefinição:Math, atribuindo, a cada morfismo Predefinição:Math, um morfismo Predefinição:Math, satisfazendo Predefinição:Math e Predefinição:Math; os functores contravariantes de Predefinição:Math até Predefinição:Math estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes Predefinição:Math, em que Predefinição:Math denota a categoria oposta a Predefinição:Math.

Por vezes, em vez de se dizer que Predefinição:Math é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição Predefinição:Math é functorial.

Exemplos

• Dadas Predefinição:Math e Predefinição:Math categorias, com objeto Predefinição:Math, há o functor constante Predefinição:Math, com atribuição
  $$\Delta (b)(x{\xrightarrow {f}}y)=b{\xrightarrow {1_{b}}}b.$$
• Se Predefinição:Math denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Predefinição:Math functor contravariante de Predefinição:Math a Predefinição:Math, com atribuição
  $$Q(A{\xrightarrow {f}}B)=\operatorname {P} (B){\xrightarrow {S\mapsto f^{\leftarrow }(S)}}\operatorname {P} (A),$$
  em que Predefinição:Math é o conjunto de partes de Predefinição:Math, e Predefinição:Math é a pré-imagem de Predefinição:Math por Predefinição:Math.
• Se Predefinição:Math denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo Predefinição:Math, há functor contravariante Predefinição:Math de Predefinição:Math de Predefinição:Math, com correspondência
  $$(U{\xrightarrow {\Lambda }}V)^{*}=V^{*}{\xrightarrow {f\mapsto f\circ \Lambda }}U^{*},$$
  em que Predefinição:Math denota o espaço dual a Predefinição:Math.
• A atribuição de cada espaço com base Predefinição:Math ao correspondente grupo fundamental Predefinição:Math é functorial.

Bifunctor

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias Predefinição:Math. Dado bifunctor Predefinição:Math e objeto Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math é definido por:

$$F(-,c)(b{\xrightarrow {f}}b')=F((b,c){\xrightarrow {(f,1_{c})}}(b',c)).$$

De forma análoga, há o functor Predefinição:Math.

Categoria de categorias e functores

Para cada Predefinição:Math universo de Grothendieck, há a categoria $U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}$ (ou, brevemente, ${\mathsf {Cat}}$) cujos objetos são as categorias que pertencem a Predefinição:Math e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.

Um conceito similar é a categoria de functores Predefinição:Math, cujos objetos são os functores Predefinição:Math, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.

Functor hom

Seja $C$ uma categoria. Denotando-se por ${\textsf {Set}}$ uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor

$$\mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}$$

em que $\mathrm {hom} (X,Y)$ é o conjunto de morfismos $X\rightarrow Y$, e, dados $f:X'\rightarrow X$, $g:Y\rightarrow Y'$ morfismos em $C$,

$$\mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').$$

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]