Na teoria das categorias, epimorfismo generaliza o conceito de funções sobrejetivas ou de imagens "suficientemente grandes". Mais precisamente, um epimorfismo (ou epi) é um morfismo Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math com a propriedade de que
- Predefinição:Math implica Predefinição:Math
sempre que Predefinição:Math é objeto de Predefinição:Math e Predefinição:Math são morfismos paralelos. Brevemente, um epimorfismo é uma seta cancelável à direita da composição.[1][2]
O conceito dual a epimorfismo é monomorfismo.
Nota de terminologia: Fora da teoria das categorias, "epimorfismo" pode referir-se a um homomorfismo sobrejetivo.[3]
Exemplos
- Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos (e homomorfismos de grupos) e na categoria de espaços topológicos (e funções contínuas), os epimorfismos são precisamente os mapeamentos sobrejetivos.[2][4]
- Na categoria dos anéis, a inclusão Predefinição:Math é um epimorfismo não sobrejetivo.[5]
- Na categoria dos espaços de Hausdorff, um mapeamento é epimorfismo precisamente quando sua imagem é densa no contradomínio.[4]
Retração
Se Predefinição:Math para algumas setas Predefinição:Math e Predefinição:Math, Predefinição:Math é chamada inversa à direita ou seção e Predefinição:Math é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.[2] Eis alguns exemplos de retrações:
- Na categoria dos conjuntos, as retrações são precisamente as funções sobrejetivas. (Inclusive, isto é uma das formulações do axioma da escolha.)[6]
- Na categoria dos módulos sobre um anel Predefinição:Math, um homomorfismo Predefinição:Math é uma retração precisamente quando há sequência exataque cinde, isto é, quando há diagrama comutativono qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por Predefinição:Math e Predefinição:Math. (O módulo Predefinição:Math "cinde-se" em Predefinição:Math e o núcleo de Predefinição:Math.) Por isso, retrações são também chamadas de epimorfismos que cindem.[7]
Referências
- ↑ Predefinição:Harv
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Predefinição:Harv
- ↑ Predefinição:Harv: "Unfortunately, some references define ring epimorphisms as 'surjective ring homomorphisms'; this should be discouraged."
- ↑ 4,0 4,1 Predefinição:Harv
- ↑ Predefinição:Harv
- ↑ Predefinição:Harv
- ↑ Predefinição:Harv
Bibliografia
- ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
- RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
- ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7
- MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
Ver também
Ligações externas