Objeto inicial

Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria $C$ é um objeto $s\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$, há exatamente um morfismo $s\to x$. Dualmente, um objeto terminal (ou final) de $C$ é um objeto $t\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$, há exatamente um morfismo $x\to t$. Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final.

Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se $s,s'$ são ambos iniciais, há únicos morfismos $f:s\to s',\,g:s'\to s$, e $f\circ g=1_{s'},\,g\circ f=1_{s}$ pela definição de objeto inicial. Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo.

Exemplos

• Na categoria ${\mathsf {Set}}$ dos conjuntos, o objeto inicial é o conjunto vazio (a função $\emptyset \to X$ é a função de gráfico vazio), e cada conjunto $\{x\}$ de um elemento é terminal.
• Na categoria ${\mathsf {Grp}}$ dos grupos, o grupo nulo é simultaneamente inicial e terminal, logo é um objeto zero.
• Conceitos da teoria das categorias, como functores representáveis, limites e colimites, podem ser expressos como objetos iniciais ou terminais numa categoria adequada.

Existência

O teorema de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se $D$ é uma categoria pequeno-completa e com conjuntos $\hom$ pequenos, $D$ tem objeto inicial se e só se satisfaz:

Existe conjunto pequeno $I$ e família $\{k_{i}\}_{i\in I}$ de objetos de $D$, tal que, para cada $d\in D$, há morfismo $k_{i}\to d$ para algum $i\in I$.

Predefinição:Collapse top A parte "só se" segue da definição de objeto inicial.

Reciprocamente, seja $\{k_{i}\in D\}_{i\in I}$ como acima. Como $D$ é pequeno-completa e $I$ é pequeno, há produto

$$w=\prod _{i\in I}{k_{i}}$$

em $D$. Já que $\hom _{D}(w,w)$ é pequeno, há equalizador $e:v\to w$ do conjunto de todos os morfismos $w\to w$.

$${\begin{array}{r c l c l}&&&\scriptstyle {f,g}\\u&{\xrightarrow {e'}}&v&\rightrightarrows &d\\{\scriptstyle {s}}\uparrow &&\downarrow \scriptstyle {e}&&\uparrow \\w&&w&{\xrightarrow {p_{i}}}&k_{i}\end{array}}$$

Para cada $d\in D$, há então alguma seta $v\to d$, a saber, uma composição da forma $v{\xrightarrow {e}}w{\xrightarrow {p_{i}}}k_{i}\to d$. Para mostrar que $v$ é inicial, basta mostrar que quaisquer setas $f,g:v\to d$ coincidem. Considere o equalizador $e':u\to v$ de $f,g$. Há seta $s:w\to k_{j}\to u$, logo $e\circ e'\circ s:w\to w$. Já que $e$ é equalizador dos morfismos $w\to w$,

$$(e\circ e'\circ s)\circ e=1_{w}\circ e=e\circ 1_{v}.$$

Como equalizadores são monomorfismos, $e'\circ s\circ e=1_{v}$. Então, de $f\circ e'=g\circ e'$,

$$f=f\circ e'\circ s\circ e=g\circ e'\circ s\circ g=g,$$

como requerido. Predefinição:Collapse bottom

O teorema especial de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se Predefinição:Math é categoria pequeno-completa, com conjuntos Predefinição:Math pequenos, tem família cosseparadora Predefinição:Math pequena e é tal que toda família de monomorfismos de mesmo contradomínio tem produto fibrado (noutras palavras, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então Predefinição:Math tem objeto inicial.

Predefinição:Collapse top Denote por Predefinição:Math o produto dos objetos em Predefinição:Math, e seja Predefinição:Math o produto fibrado de todos os monomorfismos para Predefinição:Math. Mostra-se que Predefinição:Math é objeto inicial.

Que Predefinição:Math é cosseparador equivale a que, para cada Predefinição:Math, a seta

$$f_{c}:c\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,$$

com componentes Predefinição:Math é monomorfismo. Também há a seta

$$g:\prod _{k\in T}k\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,$$

com componentes Predefinição:Math. Forma-se o produto fibrado:

$${\begin{array}{c c l}r&\rightarrow &c\\\downarrow &&\downarrow f_{c}\\q&{\xrightarrow {g}}&\prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k.\end{array}}$$

Como Predefinição:Math é monomorfismo, Predefinição:Math também é monomorfismo; pela definição de Predefinição:Math, há seta Predefinição:Math, e, em particular, há seta Predefinição:Math. Se houvesse mais de uma seta Predefinição:Math, o equalizador entre elas seria um subobjeto próprio de Predefinição:Math, contradizendo a definição de Predefinição:Math. Portanto, há única seta Predefinição:Math. Predefinição:Collapse bottom

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Bibliografia

• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.