Em matemática, a função piso, denotada por , converte um número real no maior número inteiro menor ou igual a , enquanto a função teto, denotada por , converte um número real no menor número inteiro maior ou igual a .[1] As definições formais para essas função são
- ,
- .
O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores[2]. Para Graham et al.[3], a parte inteira de é o mesmo que . Para Spanier e Oldham, a parte inteira de é igual a para positivo e igual a para negativo. A segunda definição será representada neste artigo como .
O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de é igual a . Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de é igual a . A segunda definição será representada neste artigo como .
Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações e foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962[1].
A parte inteira de um número fracionário () é dada por:
Propriedades da função piso
- Tem-se
- com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.
- a função piso é idempotente: .
- Para qualquer inteiro k e real x,
- O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como .
- A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
- Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
- Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier
- Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
- O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função piso.
- Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:
- É fácil ver que:
- e:
- É possível verificar que:
Referências
Bibliografia
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley. ISBN 0-20155-802-5
- Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-47143-014-5
- Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987) "The Integer-Value Int(x) and Fractional-Value frac(x) Functions." In An Atlas of Functions, Hemisphere, Cap. 9, p. 71–78. ISBN 0-89116-573-8
- Weisstein, Eric W. Integer Part MathWorld--A Wolfram Web Resource (em inglês). Página visitada em 6 de Fevereiro de 2011.