Teste M de Weierstrass

Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciado

Seja $\{f_{n}\}$ uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto $A$, $M_{n}$ uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ para todo $n>1\,$ e todo $x\in A\,$.
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty$

Então:

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ converge uniformemente em $A\,$

Demonstração

O teste da comparação garante que a série numérica:

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ converge para cada $x\in A\,$

Seja $f\,$ o limite pontual de $f_{n}\,$ Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um $\epsilon >0\,$. Da convegência da série formada pelos $M_{n}\,$, temos que existe um $N\,$ tal que:

$\sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\epsilon$

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

$\sum _{n=N}^{\infty }f_{n}(x)\leq \sum _{n=N}^{\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\epsilon$

E o resultado segue, pois $N\,$ não foi escolhido com base em $x\,$.

Generalização

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

• $||f_{n}||\leq M_{n}$.

Ver também

• Convergência uniforme
• Convergência pontual
• Séries de Taylor
• Raio de convergência