Raio de convergência

Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto $(a-R,a+R)\,$ , onde $a\,$ é centro da série e $R\,$ é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta $|x-a|<R\,$ . Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência $|x-a|=R\,$

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,

, onde

a_{n}\,

são os coeficientes da série:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,

Existe um forma alternativa que é: $R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\,$ , quando este limite existe.

Exemplos

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência $\left(R=1\right)\,$ .

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\,$
$g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,$
$h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}\,$

A convergência na circunferência $R=1\,$ , no entanto, é diferente para cada caso:

$f(z)\,$ não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
$g(z)\,$ não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo $z\neq 1\,$ de módulo unitário pelo teste de Abel.
$h(z)\,$ converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,$ .

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n!z^{n}\,$

Esta série não pode convegir para nenhum $z\neq 0\,$ pelo teste do termo geral, convergindo apenas para $z=0\,$

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula de Hadamard

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola $|Z-a|\leq r<R\,$ . Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto $Z\,$ tal que $|Z-a|>R\,$ .

Para mostrar a primeira parte, escolha $r<R\,$ . Escolha um $\varepsilon >0\,$ tal que $R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1}<r^{-1}\,$

Da definição de limite superior temos:

|a_{n}|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1},~~n>N\,

para algum

N\,

Agora podemos estimar os termos da série:

|a_{n}(Z-a)^{n}|\leq \rho ^{-n}r^{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n},~~n>N\,

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica $M_{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n}\,$ que é convergente.

Agora escolha um $Z\,$ tal que $|Z-a|>R\,$ . Escolha $\varepsilon \,$ tal que $R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,$ , da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência $\{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,$ tal que: