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Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções converge pontualmente para uma função se, e somente se:

.

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções que são limitadas, que designaremos por . Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais ). Através da relação definimos uma aplicação de em que constitui uma norma em e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, é um espaço de Banach[1][2] (p.170).

De notar que se é uma sucessão de funções em que converge uniformemente para , então também . Basta ter em conta que para cada e cada , . Fixando arbitrariamente, resulta então, para qualquer que . Logo é limitada em .

Continuidade

Tomemos agora , não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

  • Seja uma sucessão de funções contínuas em que converge uniformemente para em Então é contínua em [2] (p 132).
  • A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

Se for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado , uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em[2] (p.211).

Teorema (de Dini)

Se uma sucessão de funções contínuas em que em cada ponto de cresce (ou decresce) para e é também contínua em , então converge unformemente para em .

Para o caso de ser , uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo[3].

Diferenciabilidade

Seja um intervalo da reta real.

  • Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

cujas derivadas são:

Que converge uniformemente para zero é fácil ver pois . Podemos provar que não existe um tal que é limitado. Para tal, suponha que exista tal , como , e portanto existe um com a propriedade:

, mas então:
, o que contradiz a convergência.
  • Pode acontecer de convergir uniformemente e pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

Como , converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

  • Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Convergência uniforme e integrais

Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.

Exemplo 1

Designemos por , a sucessões dos racionais no intervalo e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada , a correspondente função limite é a função de Dirichlet

a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.

Por outro lado, , qualquer que seja . Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.

Exemplo 2

Seja

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em (, para cada ) com apenas uma descontinuidade em , consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por

a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.

Exemplo 3

Mas para , com em , temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo

Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois

.

Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula

Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções para a função limite . Na verdade, é válido o teorema seguinte.

Teorema 1 (da Convergência Uniforme)

Seja uma sucessão de funções integráveis em , convergindo uniformemente para . Isto é, é uma sucessão em tal que . Então é integrável em e:

.

Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.

Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto , das descontinuidades de , tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se for o conjunto das descontinuidades de , como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que . Logo . Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função , medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a . Logo é integrável à Riemann.

Por outro lado, a diferença

pelo que

Este argumento é válido para os dois integrais.

Ver também

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  1. Honig, Chaim Samuel (1976). Aplicações da Topologia à Análise. Brasília: IMPA-CNPq. p. 33. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Lima, Elon Lages (1977). Espaços Métricos. Brasília: IMPA-CNPq. ISBN 9-216-05110-8 
  3. Figueiredo, Djairo Guedes de (1996). Análise I. Rio de Janeiro: LTC. p. 199 

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