Teste da divergência

Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, então seu termo geral $a_{n}$ converge para zero.

Demonstração

Considere as somas parciais $S_{N}$

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$ Queremos mostrar que a convergência de $S_{N}$ implica que o limite $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ exista e seja nulo.

Como a seqüência $S_{N}$ é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo $k$ positivo, vale o limite:

$\lim _{N\to \infty }(S_{N+k}-S_{N})=0$

O teorema do termo geral é o caso particular em que $k=1$, pois:

$\lim _{N\to \infty }(S_{N+1}-S_{N})=\lim _{N\to \infty }a_{N+1}=0$

O que completa a demonstração.

Outra demonstração

Se o limite $\lim _{n\to \infty }S_{N}$ existe, então:

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}$

E

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})=S-S=0$

A recíproca não é verdadeira

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

onde o termo geral ${\frac {1}{n}}$ tende a zero, mas a soma diverge.

Se o termo geral converge a zero o teste é inconclusivo

Quando o limite do termo geral vai a zero a série pode convergir ou divergir, o que torna o teste inconclusivo. No parágrafo anterior vimos o exemplo da série harmônica que diverge e o termo geral vai a zero. Resta mostrar um exemplo de uma série que converge e o termo geral também vai a zero. Um exemplo deste tipo é série geométrica de razão 1/2 a seguir:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$.