Teorema da categoria de Baire

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si mesmo. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome.

Enunciado

Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Baire possui os seguintes enunciados equivalentes:

Se $F=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}$ onde $int(F_{n})=\varnothing$ , para todo $n\in \mathbb {N}$ , então $int(F)=\varnothing$ ;
Todo conjunto magro tem interior vazio;
Se $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {n} }$ é uma família de conjuntos abertos e densos então $A=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}$ é denso em M.

Do ponto de vista topológico, podemos apresentar a seguinte formulação:

Todo espaço localmente compacto de Hausdorff não vazio é um espaço de Baire.

Demonstração

Uma das demonstrações deste resultado, que se faz necessária a completude do espaço na qual estamos trabalhando é feita de forma construtiva. Sabendo que as afirmações citadas são equivalentes, apresentaremos a demonstração do item 3):

Seja $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ uma família de conjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M. Queremos mostrar que dada qualquer bola aberta $B_{1}$ tem-se que $A\cap B_{1}\neq \varnothing$ . Assim, seja $B_{1}$ uma bola aberta arbitrária, sendo $A_{1}$ aberto e denso temos que $A_{1}\cap B_{1}$ é aberto e não-vazio, desta forma existe $r>0$ tal que $B_{r}\subset A_{1}\cap B_{1}$ . Tomando uma bola aberta $B_{2}$ de raio menor que $r$ e menor ou igual a ${\frac {1}{2}}$ , temos que ${\overline {B_{2}}}\subset B_{r}\subset A_{1}\cap B_{1}$ . Prosseguindo da mesma forma, obtemos uma $B_{3}$ de raio menor que ${\frac {1}{3}}$ tal que ${\overline {B_{3}}}\subset A_{2}\cap B_{2}$ e portanto para todo $n$ , temos que existe $B_{n+1}$ tal que ${\overline {B_{n+1}}}\subset A_{n}\cap B_{n}.$

Por construção, obtemos uma sequência decrescente ${\overline {B_{1}}}\supset {\overline {B_{2}}}\supset ...\supset {\overline {B_{n}}}\supset ...$ com $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }diam({\overline {B_{n}}})=0$ . Sendo $M$ completo, segue do caso geral do Teorema do encaixe de intervalos que $\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }{\overline {B_{n}}}=\{a\}$ . Como, ${\overline {B_{n+1}}}\subset A_{n}\cap B_{n}$ para todo $n$ e $a\in B_{1}$ , segue que $\cap B_{1}\neq \varnothing$ .

Consequência

Uma consequência direta do teorema de Baire é a seguinte:

Seja $M$ um espaço métrico completo. Se $M=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}$ enumerável onde cada $F_{n}$ é fechado em $M$ , então existe pelo menos um $n$ , tal que $intF_{n}\neq \varnothing$ .

Aplicações

O teorema de Baire é um importante resultado na matemática, principalmente na análise devido ao seu grande número de consequências. Abaixo apresentaremos algumas de suas aplicações:

A reta real $\mathbb {R}$ é não-enumerável.

A demonstração deste fato é bastante simples, e segue abaixo: Suponha que $\mathbb {R}$ seja enumerável, então $\mathbb {R} =\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }r_{n}$ , isto é, podemos escrever $\mathbb {R}$ como sendo a reunião enumerável de seus pontos que são claramente fechados em $\mathbb {R}$ . Segue então do corolário do teorema de Baire que existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que um dos pontos de $\mathbb {R}$ tem interior não-vazio, o que é um absurdo.

Seja $I=[a,b]$ um intervalo e $C={\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )$ o conjunto das aplicações limitadas $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ com a métrica da convergência uniforme $d(f,g)=\sup \limits _{x\in I}|f(x)-g(x)|$ . O conjunto $B=\{f\in C_{0}(I,\mathbb {R} )\;|\;f\;possui\;derivada\;em\;algum\;ponto\;de\;I\}$ é magro em ${\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )$ , ou seja, o conjunto das funções $f\in {\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )$ que não possuem derivada em ponto algum de $I$ contém uma interseção enumerável de abertos densos em ${\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )$ . De maneira intuitiva, este resultado garante que existem mais funções contínuas que não possuem derivada em ponto algum de $I$ do que as que possuem.

Seja $M,N$ espaços métricos e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência de aplicações contínuas tal que $f_{n}:M\rightarrow N$ converge para $f:M\rightarrow N$ simplesmente. Se M é completo então o conjunto dos pontos de descontinuidades de $f$ é magro em $M$ .