Conjunto magro

O conjunto magro ou conjunto de primeira categoria é um conceito de especial importância na análise funcional em áreas da matemática como a topologia geral e a teoria descritiva de conjuntos.

Definições

Seja $(X,\tau )\,$ um espaço topológico. Um conjunto $S\subset X\,$ é dito ser de primeira categoria ou magro se puder ser escrito como a união enumerável de conjuntos nunca densos:

$S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}~,~~{\overline {S_{n}}}^{o}=\emptyset$

Um conjunto que não é de primeira categoria, é chamado de conjunto de segunda categoria.

Propriedades

• A interseção de conjuntos magros é um conjunto magro.
• A união enumerável de conjuntos magros é um conjunto magro.

Espaços de Baire

Um espaço topológico é dito espaço de Baire se for de segunda categoria em si mesmo.

• O teorema de Baire afirma que espaços métricos completos não vazios e espaços localmente compactos de Hausdorff não vazios são espaços de Baire.

Ver também

• Conjunto denso em lugar nenhum
• Teorema da categoria de Baire

Bibliografia

• Munkres, James R.. Topology. Prentice Hall, 2000. 537 p. ISBN 0131816292
• Lima, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro: IMPA, 1977. Projeto Euclides.
• Hönig, Chaim S.. Aplicações da Topologia à análise. Cnpq, 1976. Projeto Euclides.