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Teorema da categoria de Baire

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si mesmo. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome.

Enunciado

  • Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Baire possui os seguintes enunciados equivalentes:
  1. Se onde , para todo , então ;
  2. Todo conjunto magro tem interior vazio;
  3. Se é uma família de conjuntos abertos e densos então é denso em M.
  • Do ponto de vista topológico, podemos apresentar a seguinte formulação:
  1. Todo espaço localmente compacto de Hausdorff não vazio é um espaço de Baire.

Demonstração

Uma das demonstrações deste resultado, que se faz necessária a completude do espaço na qual estamos trabalhando é feita de forma construtiva. Sabendo que as afirmações citadas são equivalentes, apresentaremos a demonstração do item 3):

Seja uma família de conjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M. Queremos mostrar que dada qualquer bola aberta tem-se que . Assim, seja uma bola aberta arbitrária, sendo aberto e denso temos queé aberto e não-vazio, desta forma existe tal que . Tomando uma bola aberta de raio menor que e menor ou igual a , temos que . Prosseguindo da mesma forma, obtemos uma de raio menor que tal que e portanto para todo , temos que existe tal que

Por construção, obtemos uma sequência decrescente com . Sendo completo, segue do caso geral do Teorema do encaixe de intervalos que . Como, para todo e , segue que .

Consequência

Uma consequência direta do teorema de Baire é a seguinte:

  • Seja um espaço métrico completo. Se enumerável onde cada é fechado em , então existe pelo menos um , tal que .

Aplicações

O teorema de Baire é um importante resultado na matemática, principalmente na análise devido ao seu grande número de consequências. Abaixo apresentaremos algumas de suas aplicações:

  • A reta real é não-enumerável.

A demonstração deste fato é bastante simples, e segue abaixo: Suponha que seja enumerável, então , isto é, podemos escrever como sendo a reunião enumerável de seus pontos que são claramente fechados em . Segue então do corolário do teorema de Baire que existe tal que um dos pontos de tem interior não-vazio, o que é um absurdo.

  • Seja um intervalo e o conjunto das aplicações limitadas com a métrica da convergência uniforme . O conjunto é magro em , ou seja, o conjunto das funções que não possuem derivada em ponto algum de contém uma interseção enumerável de abertos densos em . De maneira intuitiva, este resultado garante que existem mais funções contínuas que não possuem derivada em ponto algum de do que as que possuem.
  • Seja espaços métricos e uma sequência de aplicações contínuas tal que converge para simplesmente. Se M é completo então o conjunto dos pontos de descontinuidades de é magro em .

Na análise funcional:

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Referências

  • LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro. Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003.

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