Seminorma

Em matemática, uma seminorma consiste numa função que associa cada vetor de um espaço vetorial em um número real não negativo.

Definição

Seja $X$ um espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb {K}$ (reais ou complexos). Uma seminorma $p$ em $X$ é toda função cujo domínio é $X$ e cujo contra-domínio são os reais não-negativos que satisfaça os seguintes axiomas:

• $p(x)\geq 0,~~\forall x\in X$;

• $p(\alpha x)=|\alpha |p(x),~~\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb {K}$;

• $p(x+y)\leq p(x)+p(y),~~\forall x,y\in X$.

Fique bem claro que toda norma é também uma seminorma. À diferença de uma norma, pode acontecer $p(x)=0$ mesmo quando $x\neq 0$.

Também é claro da definição que $p(\mathbf {0} )=p(0\cdot \mathbf {0} )=0.p(\mathbf {0} )=0$.

Partição induzida por uma seminorma

Seja $p$ uma seminorma em $X$, então pode-se definir a relação de equivalência:

$x\sim y\Longleftrightarrow p(x-y)=0$.

Então pode-se definir uma norma no espaço quociente $X/\sim$, como:

$\|[x]\|=p(x)$, onde $x$ é qualquer elemento de sua classe de equivalência $[x]$.

Este procedimento é largamente usado na análise funcional para construir espaços normados, como, por exemplo o espaço Lp.

Ver também

• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Norma