Funcional de Minkowski

Em matemática, sobretudo na análise funcional, um funcional de Minkowski faz uma interpretação geométrica dos funcionais norma e semi-norma.

Definição

Seja $X\,$ um espaço vetorial topológico real ou complexo. Um conjunto $S\,$ é dito absorvente se:

$X\subseteq \bigcup _{\lambda >0}\lambda S,$

em que $\lambda S=\{\lambda x:x\in S\}\,$.

O funcional de Minkowski $p:X\to \mathbb {R} ^{+}\,$ associado a $S\,$ é definido como:

$p(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda S\},\;\forall \;x\in X.$

• Pode-se mostrar que se $S\,$ é um conjunto equilibrado, convexo e absorvente então $p\,$ é uma semi-norma.
• Se além disto, $S\,$ não contiver nenhum subespaço vetorial não-trivial, então $p\,$ é uma norma.