Recobrimento (topologia)

Uma cobertura

Em topologia, um espaço de recobrimento, ou simplesmente recobrimento, de um espaço topológico X conexo por arcos é uma aplicação contínua $p:Y\rightarrow X$, onde Y é um espaço conexo por arcos e p é tal que cada ponto de X tem uma vizinhança U cuja imagem recíproca é um conjunto com componentes conexas $S_{i}$ de modo que cada $p|_{S_{i}}:S_{i}\rightarrow U$ é um homeomorfismo.

O termo cobertura às vezes é empregado como sinônimo de recobrimento, mas este uso pode causar confusão com a noção de cobertura aberta.

O grau de uma cobertura $p:Y\rightarrow X$ é o cardinal de $p^{-1}(x)$, para qualquer $x\in X$.

O grupo de um recobrimento $p:Y\rightarrow X$ é constituído pelas aplicações contínuas $\phi :Y\rightarrow Y$ tais que $p\circ \phi =p$.

Recobrimentos universais

Um recobrimento $p:Y\rightarrow X$, onde Y é simplesmente conexo, é dito um recobrimento universal de X. O grupo fundamental de X é o grupo de um recobrimento universal de X.