Conexo por arcos

Um espaço conexo por arcos.

Um espaço topológico diz-se conexo por arcos (ou conexo por caminhos) se quaisquer dois dos seus pontos estão ligados por um caminho. O conceito de conexidade por arcos é mais forte que o de conexidade, ou seja, qualquer espaço topológico conexo por arcos é conexo.

Exemplos

• Se A e B são conexos por arcos e $A\cap B\neq \varnothing \,$, então $A\cup B\,$ é conexo por arcos.
• Se A e B são conexos por arcos então $A\times B\,$, na topologia produto, é conexo por arcos.
• Todo subconjunto convexo de um espaço euclidiano é conexo por arcos.

Observação

Existe uma outra definição, mais forte, de conexo por arcos, em que o caminho deve ser um homeomorfismo do intervalo fechado [0,1]. Um exemplo de um espaço conexo por arcos pela primeira definição que não é conexo por arcos por esta definição é o conjunto $X=[0,+\infty )\cup \{0'\}$ munido com a topologia da ordem em relação à ordem parcial $\prec$ definida por $x\prec y$ se e só se $x,y\in [0,+\infty )$ e $x<y\,\!$ ou $x=0'\,\!$ e $y\in (0,+\infty )$. Neste conjunto existe um caminho $\alpha :[0,1]\to X\,\!$ entre 0 e 0', mas este caminho não pode ser escolhido de forma a ser injectivo.