Identidade trigonométrica

	Trigonometria
	História ; Funções; Funções inversas ; Aprofundamento ;
	Referência
	Lista de identidades ; CORDIC
	Teoria euclidiana
	Lei dos senos ; Lei dos cossenos ; Lei das tangentes ; Teorema de Pitágoras
	Cálculo
	Integração trigonométrica ; Substituição trigonométrica ; Integrais de funções ; Diferenciação trigonométrica ; ;

Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação

Ângulos

Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida.
Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias.

É usual utilizar letras gregas como alfa (α), beta (β), theta (θ) e phi (φ), ou letras latinas iniciais, como "a", "b", "c" etc., ou medianas ("m", "n", "p" etc.), para representar medidas de ângulos, que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori).
Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas), devem-se preferir "x", "y", "z" etc., conforme convenção para variáveis.
Assim, ao se escreverem expressões que representam relações, funções, igualdades, identidades ou equações com um ou mais argumento variável, os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x", "y", "z" etc.) devem-se utilizar.

Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo grau, radiano e grado, além de reto, correspondente à medida de um ângulo reto:

1 volta completa = 360 graus = 2Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} radianos = 400 grados = 4 retos.

A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radianos	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac\pi6}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac\pi3}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2\pi}3}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{5\pi}6}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{7\pi}6}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4\pi}3}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{5\pi}3}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{11\pi}6}
Grados	33⅓ grados	66⅔ grados	133⅓ grados	166⅔ grados	233⅓ grados	266⅔ grados	333⅓ grados	366⅔ grados

Graus	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radianos	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac\pi4}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac\pi2}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{3\pi}4}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{5\pi}4}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{3\pi}2}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{7\pi}4}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi}
Grados	50 grados	100 grados	150 grados	200 grados	250 grados	300 grados	350 grados	400 grados

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir das funções seno e cosseno. A notação utilizada para essas funções é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\theta\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\theta\right)} , respectivamente, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\theta} eFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta} .

A função tangente (escreve-se "Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{tan}\ \theta} " ou "Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{tg}\ \theta} " ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\theta=\frac{\sen\theta}{\cos\theta}} .

Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec} ), cossecante (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc} ) e cotangente (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot} ), das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sen\theta}} ;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}} ;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\theta=\frac{1}{\sen\theta}} .

Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)

Funções inversas

As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arcsen}} ou por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^{-1}} (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação.

Por exemplo: sabendo-se que o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen60^\circ=\sen\left(\frac{\pi}{3}\right)={\frac{\sqrt{3}}{2}} } , podemos dizer que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3} } .

Assim observa-se que, para essas funções, deve valer:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\operatorname{arcsen}) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq 1 } eFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsen}(\sen x) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq \pi/2 } A tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:

Função Trigonométrica	Seno	Cosseno	Tangente	Secante	Cossecante	Cotangente
Notação	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot}
Função Inversa	Arco seno	Arco cosseno	Arco tangente	Arco secante	Arco cossecante	Arco cotangente
Notação	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arcsen}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arccos}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arctan}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsec}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arccsc}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{arccot}}

Identidades pitagóricas

Existem diversas relações entre as funções trigonométricas. Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras.

A relação básica entre seno e cosseno é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\theta + \sen^2\theta = 1,} conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental, pois é a mais básica identidade pitagórica.

Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras, o que será demonstrado adiante.

Também existem outras duas identidades: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha,} que são corolários da identidade trigonométrica fundamental.

Assim, existem três identidades pitagóricas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\theta + \sen^2\theta = 1}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha}

Abaixo temos as demonstrações dessas identidades e, após, um quadro que relaciona todas as identidades à função trigonométrica que se deseja obter.

Relação fundamental

Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico

Vamos demonstração a relação fundamental:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \end{align}}

Demonstração geométrica

Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AC}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{CH}} e hipotenusa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AH},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AC} \,\!= \cos\alpha,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{CH} \,\! = \sen\alpha} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AH} \,\! = 1.}

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AC})^2 + (\overline{CH})^2 = (\overline{AH})^2 \Rightarrow (\cos\alpha)^2 + (\sen\alpha)^2 = 1^2.}

Logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \end{align}.}

Corolários

1° Corolário

Vamos demonstrar o seguinte corolário:

Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha}

Demonstração Geométrica

Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AD}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{DF}} e hipotenusa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AF},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AD} \,\! = 1,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{DF} \,\! = \tan\alpha} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AF} \,\! = \sec\alpha.}

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AD})^2 + (\overline{DF})^2 = (\overline{AF})^2 \Rightarrow 1^2 + (\tan\alpha)^2 = (\sec\alpha)^2.}

Logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha.}

Demonstração Algébrica

É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\alpha,} da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \rightarrow {\operatorname{sen}^2\alpha \over \cos^2\alpha} + {\cos^2\alpha\over\cos^2\alpha} = {1\over\cos^2\alpha} \rightarrow \operatorname{tan}^2\alpha + 1 = \operatorname{sec}^2\alpha \end{align}}

2° Corolário

Vamos demonstrar o seguinte corolário:

Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+ \cot^2\alpha = \csc^2\alpha}

Demonstração Geométrica

Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AE}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{EG}} e hipotenusa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AG},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AE} \,\! = 1,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{EG} \,\! = \cot\alpha} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AG} \,\! = \csc\alpha.}

Aplicando o teorema de Pitágoras:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AE})^2 + (\overline{EG})^2 = (\overline{AG})^2 \Rightarrow 1^2 + (\cot\alpha)^2 = (\csc\alpha)^2.}

Logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+ \cot^2\alpha = \csc^2\alpha.}

Ou, comutativamente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha.}

Demonstração Algébrica

É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^2\alpha,} da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \rightarrow {\operatorname{sen}^2\alpha \over \operatorname{sen}^2\alpha} + {\cos^2\alpha\over\sen^2\alpha} = {1\over\sen^2\alpha} \rightarrow {1 + \operatorname{cot}^2\alpha} = \operatorname{csc}^2\alpha \end{align}}

Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \cos^2\alpha = {1\over\sec^2\alpha} \end{align}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sec^2\alpha = \tan^2\alpha + 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = {1\over \tan^2\alpha + 1} \end{align}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} {\sen^2\alpha = \sen^2\alpha} \rightarrow \sen^2\alpha = sen^2\alpha . {\cos^2\alpha\over\cos^2\alpha} = \cos^2\alpha . \tan^2\alpha = \tan^2\alpha . {1\over{tan^2\alpha+1}} \Rightarrow \sen^2\alpha = {\tan^2\alpha\over{\tan^2\alpha+1}}\end{align}} ^[1]

Lista de relações entre funções trigonométricas.^[2]
relacionado a	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot \theta}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\csc \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{1 - \sen^2\theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sec \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sen \theta}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\cot \theta}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sen \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot \theta =}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}{\sen \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot \theta}

Simetria

Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações.

Ângulos replementares^[3]	Ângulos complementares^[4]	Ângulos suplementares
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(-\theta) &= -\sen \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(-\theta) &= +\sec \theta \\ \cot(-\theta) &= -\cot \theta \end{align} }	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sen \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align} }	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(\pi - \theta) &= +\sen \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \end{align} }

Simetria entre ângulos replementares

Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 360^\circ} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\ \text{rad}} .

A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas.

Seno e cosseno de ângulos replementares

Verificação Geométrica da simetria entre seno e cosseno no círculo trigonométrico unitário

Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(-\theta)= -\sen \theta } , ou seja,os senos de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-\theta)=+\cos\theta } , ou seja, os cossenos de dois ângulos replementares são iguais.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações.

Demonstração geométrica

A demonstração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-\theta)=+\cos\theta } é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento) o que pode ser observado na figura ao lado.

Para demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(-\theta)= -\sen \theta } partiremos de congruência de triângulos.

Seja os ângulos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\theta} no ciclo trigonométrico unitário, conforme vemos na figura ao lado, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta{ABD}\equiv\Delta{ADC}\qquad\left(LAL\right)\qquad\Longrightarrow\overline{AE}\equiv\overline{AF}}

Com base nisso e sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AF}=\sen\left(-\theta\right)} teríamos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(-\theta\right)=\sen\theta} , uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AE}=\sen\theta} .

Porém, pela definição de seno no ciclo trigonométrico temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(-\theta\right)=-\sen\theta} , uma vez que o seno no 3° e no 4° quadrante são negativos.

Logo temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(-\theta\right)=-\sen\theta} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-\theta)=+\cos\theta } .

Tangente de ângulos replementares

Para a tangente de ângulos replementares temos a relação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(-\theta\right)=-\tan\theta } , ou seja, as tangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos.

Representação geométrica da simetria entre tangente de ângulos replementares.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.

Demonstração algébrica

Para demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(-\theta\right)=-\tan\theta } , partiremos da relação entre seno e cosseno.

Temos, pela definição de tangente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(-\theta\right)=\frac{\sen\left(-\theta\right)}{\cos\left(-\theta\right)}=\frac{-\sen\theta}{+\cos\theta}=-\tan\theta}

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(-\theta\right)=-\tan\theta } .

Cossecante e secante de ângulos replementares

Para a cossecante e secante de ângulos replementares temos as relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc(-\theta)= -\csc \theta } , ou seja, as cossecantes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(-\theta)=+\sec\theta } , ou seja, as secantes de dois ângulos replementares são iguais.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades abaixo temos as demonstrações algébricas.

Verificação geométrica da simetria entre secante e cossecante de ângulos replementares

Cossecante de ângulos replementares

Para demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc(-\theta)= -\csc \theta } , partiremos da relação de simetria do seno.

Temos, pela definição de cossecante, que a cossecante de um ângulo é o inverso multiplicativo do seno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\left(-\theta\right)=\frac{1}{\sen\left(-\theta\right)}=\frac{1}{-\sen\theta}=-\csc\theta}

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc(-\theta)= -\csc \theta } .

Secante de ângulos replementares

Para demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(-\theta)=+\sec\theta } , partiremos da relação de simetria do cosseno.

Temos, pela definição de secante, que a secante de um ângulo é o inverso multiplicativo do cosseno do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\left(-\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(-\theta\right)}=\frac{1}{+\cos\theta}=+\sec\theta} .

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(-\theta)=+\sec\theta } .

Cotangente de ângulos replementares

Verificação geométrica da simetria entre cotangente de ângulos replementares

Para a cotangente de ângulos replementares temos a relação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(-\theta\right)=-\cot\theta } , ou seja, as cotangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.

Demonstração algébrica

Para demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(-\theta\right)=-\cot\theta } é possível partir da relação de simetria entre tangente ou da relação de simetria entre seno e cosseno.

Utilizaremos aqui relação de simetria entre tangente.

Temos, pela definição de cotangente, que a cotangente de um ângulo é o inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo.

Assim, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(-\theta\right)=\frac{1}{\tan\left(-\theta\right)}=\frac{1}{-\tan\theta}=-\cot\theta} .

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(-\theta\right)=-\cot\theta } .^[5]

Simetria entre ângulos complementares

Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 90^\circ} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2}\ \text{rad}} .

A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas.

Seno e cosseno de ângulos complementares

Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta} , ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa);

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sen\theta} , ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa).

Triângulo retângulo qualquer

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos suas demonstrações

Demonstração para ângulos agudos

Essa primeira demonstração se limita para ângulos agudos, pois utiliza a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos não retos de um triângulo retângulo qualquer.

Para essa demonstração, então, utilizaremos o triângulo retângulo ao lado.

Nesse triângulo observamos que os ângulos não retos são complementares, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 180^\circ} .

Assim, primeiramente, vamos analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} e, em seguida, analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 90^\circ - \theta} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\theta=\frac{b}{a}\qquad\text{e}\qquad\cos\theta=\frac{c}{a}} ;

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{b}{a}}\qquad{\text{e}}\qquad{\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{c}{a}}} .

Assim, conforme observamos nas relações acima temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\theta=\frac{b}{a}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\qquad\Longrightarrow\qquad{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sen\theta}}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta=\frac{c}{a}=\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\qquad\Longrightarrow\qquad{\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta}} .

Assim, demonstramos a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos agudos e complementares.^[6]

Demonstração no ciclo trigonométrico

Queremos demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sen\theta} .

Para isso partiremos dos triângulo s Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ADE}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ACB}} .

Observe que nesses triângulos temos as seguintes relações:

Verificação geométrica da congruência de triângulos para seno e cosseno e ângulos complementares.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ADE}\quad\begin{cases}\text{AD}=1 \\ \text{ED}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ \text{AE}=\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ D\hat{A}E=\theta \\ A\hat{E}D = 90^\circ \end{cases}}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ACB}\quad\begin{cases}\text{AB}=1 \\ \text{AC}=\cos\theta \\ \text{BC}=\sen\theta \\ C\hat{A}B=\theta \\ A\hat{C}B = 90^\circ \end{cases}}

Assim, com base nessas relações observamos que os dois triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.^[7]:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{AD}\equiv\text{AB}\quad \text{e}\quad D\hat{A}E\equiv{C\hat{A}B}\quad \text{e}\quad A\hat{E}D\equiv{A\hat{C}B}\Rightarrow\quad \triangle\text{ADE}\equiv\triangle\text{ACB}\quad\left(LAA_0\right)\Longrightarrow \begin{cases} \text{ED}\equiv\text{BC} \\ \text{AE}\equiv\text{AC} \end{cases}}

Nessa congruência de triângulos chegamos ás seguintes conclusões:

Verificação da simetria entre cotangente de um ângulo e seu complementar.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ED}\equiv\text{BC}\Longleftrightarrow\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sen\theta}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{AE}\equiv\text{AC}\Longleftrightarrow\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta} .

Assim demonstramos a relação de de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.

Tangente e cotangente de ângulos complementares

Verificação geométrica da relação de simetria entre a tangente de um ângulo e seu complementar

Para a relação de simetria entre tangente e cotangente de ângulos complementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta} , ou seja, a cotangente de um ângulo é igual a tangente de seu complementar;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta} , ou seja, a tangente de um ângulo é igual a cotangente de seu complementar.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.

Demonstração

Queremos demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta } e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta} .

Para isso partiremos das definições de tangente e cotangente e das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.

Pela definição de tangente, temos que a tangente de um ângulo pode ser expressa pela razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.

Dessa forma, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{\cos\theta}{\sen\theta}=\cot\theta} , pois a cotangente de um ângulo é igual a razão entre o cosseno e o seno do mesmo ângulo.

Para demonstrarmos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta} partiremos da definição de tangente como inverso multiplicativo da cotangente.

Assim, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{1}{\cot\theta}=\tan\theta} .

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta} .

Secante e cossecante de ângulos complementares

Verificação geométrica da relação de simetria entre secante de um ângulo e seu complementar

Para a relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos complementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\csc\theta} , ou seja, a cossecante de um ângulo é igual a secante de seu complementar;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sec\theta} , ou seja, a secante de um ângulo é igual a cossecante de seu complementar.

Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.

Demonstração

Queremos demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\csc\theta} e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sec\theta} .

Para isso partiremos das definições de secante e cossecante como inversos multiplicativos do cosseno e do seno, respectivamente. Após isso aplicaremos as relações já demonstradas de seno e cosseno de ângulos complementares.

Assim temos:

Verificação geométrica da relação de simetria entre cossecante de um ângulo e seu complementar.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\text{I}\right)\qquad{\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{1}{\sen\theta}=\csc\theta}} .

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\text{II}\right)\qquad{\csc\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{1}{\sen\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta} .

Em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\text{I}\right)} temos demonstrado a relação da secante de ângulos complementares e em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\text{II}\right)} temos demonstrado a relação da cossecante de ângulos complementares.^[8]

Simetria entre ângulos suplementares

Chamamos de ângulos suplementares dois ângulos que, somados, resultam em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 180^\circ} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi\ \text{rad}} .

A seguir temos as explicações dessas relações e suas respectivas demonstrações.

Simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares

Para a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\pi-\theta\right)=+\sen\theta} , que significa que o seno de um ângulo é igual ao seno de seu suplementar;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\pi-\theta\right)=-\cos\theta} , que significa que o cosseno de um ângulo é igual ao inverso aditivo do cosseno de seu complementar.

A seguir temos a demonstração para essas duas propriedades e suas verificações geométricas.^[1]

Demonstração

Verificação geométrica da relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.

Queremos demonstrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\pi-\theta\right)=\sen\theta} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\pi-\theta\right)=-\cos\theta} .

Para isso partiremos dos triângulos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle \text{ABC}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ADE}} da figura ao lado.

Observe que, nesses triângulos, temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ABC}\quad\begin{cases}\text{AB}=1 \\ \text{AC}=\cos\theta \\ \text{CB}=\sen\theta \\ C\hat{A}B=\theta \\ A\hat{C}B = 90^\circ \end{cases}}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle\text{ADE}\quad\begin{cases}\text{AD}=1 \\ \text{AE}=\left|\cos\left(\pi-\theta\right)\right| \\ \text{ED}=\sen\left(\pi-\theta\right) \\ D\hat{A}E=\theta \\ A\hat{E}D = 90^\circ \end{cases}}

Assim, com base nessas relações, percebemos que os triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado. Da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{AD}\equiv\text{AB}\quad \text{e}\quad D\hat{A}E\equiv{C\hat{A}B}\quad \text{e}\quad A\hat{E}D\equiv{A\hat{C}B}\Rightarrow\quad \triangle\text{ADE}\equiv\triangle\text{ACB}\quad\left(LAA_0\right)\Longrightarrow \begin{cases} \text{ED}\equiv\text{CB} \\ \text{AE}\equiv\text{AC} \end{cases}}

Logo, a partir dessa congruência de triângulos, temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ED}\equiv\text{CB}\Longleftrightarrow\sen\left(\pi-\theta\right)=\sen\theta}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{AE}\equiv\text{AC}\Longleftrightarrow\left|\cos\left(\pi-\theta\right)\right|=\cos\theta} .

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi-\theta} é um ângulo obtuso e que possui imagem no segundo quadrante temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\pi-\theta\right)} é negativo.

Assim, podemos dizer que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\pi-\theta\right)=-\cos\theta} .

Assim demonstramos a relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.

Verificação geométrica da relação existente entre tangente de ângulos suplementares

Simetria entre tangente e cotangente de ângulos suplementares

Para tangente e cotangente de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\pi-\theta\right)=-\tan\theta} , que significa que a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\pi-\theta\right)=-\cot\theta} , que significa que a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.

Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.

Demonstração algébrica

Para demonstrar essas relações partiremos das já demonstradas relações de simetria entre cosseno e seno de ângulo suplementares.

Assim, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\pi-\theta\right)=\sen\theta} e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\pi-\theta\right)=-\cos\theta} .

Escrevendo a tangente como a razão entre seno e cosseno e utilizando estas relações temos o seguinte:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\pi-\theta\right)=\frac{\sen\left(\pi-\theta\right)}{\cos\left(\pi-\theta\right)}\Longleftrightarrow\tan\left(\pi-\theta\right)=\frac{\sen\theta}{-\cos\theta}=-\frac{\sen\theta}{\cos\theta}\qquad\Longrightarrow\qquad\tan\left(\pi-\theta\right)=-\tan\theta} .

Logo a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar.

Verificação geométrica da relação existente entre cotangente de ângulos suplementares.

Tendo demonstrado essa relação para a tangente fica fácil demonstrá-la para a cotangente, bastando para isso escrever a cotangente como inverso multiplicativo da tangente, da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\left(\pi-\theta\right)=\frac{1}{\tan\left(\pi-\theta\right)}=\frac{1}{-\tan\theta}=-\frac{1}{\tan\theta}=-\cot\theta\qquad\Longrightarrow\qquad\cot\left(\pi-\theta\right)=-\cot\theta} .

Logo a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.^[1]

Simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares

Para a secante e cossecante de ângulos suplementares temos as seguintes relações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\left(\pi-\theta\right)=-\sec\theta} , que significa que a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante do seu suplementar;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\left(\pi-\theta\right)=+\csc\theta} , que significa que a cossecante de um ângulo é igual à cossecante do seu suplementar.

Verificação geométrica da relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares.

Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.

Demonstração

Para demonstrar essas relações partiremos das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulo suplementares.

Assim, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\left(\pi-\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\pi-\theta\right)}=\frac{1}{-\cos\theta}=-\sec\theta\qquad\Longrightarrow\qquad\sec\left(\pi-\theta\right)=-\sec\theta}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\left(\pi-\theta\right)=\frac{1}{\sen\left(\pi-\theta\right)}=\frac{1}{\sen\theta}=\csc\theta\qquad\Longrightarrow\qquad\csc\left(\pi-\theta\right)=+\csc\theta}

Logo a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante de seu suplementar e a cossecante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cossecante de seu suplementar.^[1]

Translação e periodicidade

Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.

Adicionando-se π/2	Adicionando-se π Período para tan e cot^[9]	Adicionando-se 2π Período para sen, cos, csc e sec^[10]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sen \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align} }	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(\theta + \pi) &= -\sen \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align} }	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen(\theta + 2\pi) &= +\sen \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align} }

Teoremas de adição

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais, se conhecermos as funções circulares desses números.

A seguir há uma tabela que contém todas as fórmulas para adições e subtrações de arcos e, abaixo, suas demonstrações.

Seno	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\alpha \pm \beta) = \sen \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sen \beta} ^[11]^[12]
Cosseno	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sen \alpha \sen \beta} ^[12]^[13]
Tangente	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}} ^[12]^[14]
Cotangente	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha . \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}} ^[12]^[15]
Arco seno	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsen}\alpha \pm \operatorname{arcsen}\beta = \operatorname{arcsen}(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})} ^[16]
Arco coseno	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})} ^[17]
Arco tangente	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)} ^[18]

Demonstrações

Cosseno da Soma^[1]

Soma de arcos

Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}+\text{b})= \cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}

Demonstração:

Sejam os pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{A},} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{B},} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{C}} da figura ao lado, associados aos arcos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -b} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b,} respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{A},} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{B},} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{C}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{E}} são as seguintes:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{A} (\cos\text{a}, \sen\text{a})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{B} (\cos\text{b}, -\sen\text{b})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{C} (\cos(\text{a}+\text{b}), \sen(\text{a}+\text{b}))}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{E} (1, 0).}

Observa-se, também, que os arcos que há entre os pontos A e B é igual ao arco que há entre o ponto E e C, o que faz com as respectivas cordas sejam iguais, logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB} \,\! = \overline{EC}.}

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AB})^2 = [\cos\text{a}-\cos\text{b}]^2+[\sen\text{a}-(-\sen\text{b})]^2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{EC})^2 = [\cos(\text{a}+\text{b})-1]^2+[\sen(\text{a}+\text{b})-0]^2.}

Simplificando a primeira relação, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AB})^2 = \cos^2\text{a}-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+ \cos^2\text{b} +\sen^2\text{a}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}+\sen^2\text{b}.}

Sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^2\text{a} + \cos^2\text{a}=1,} podemos reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AB})^2 = 2-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}.}

Simplificando a segunda relação, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{EC})^2 = \cos^2(\text{a}+\text{b}) - 2.\cos(\text{a}+\text{b})+1+\sen^2(\text{a}+\text{b}).}

Sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^2(\text{a}+\text{b}) + \cos^2(\text{a}+\text{b})=1,} podemos reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{EC})^2 = 2-2.\cos(\text{a}+\text{b}).}

Por fim, sabendo que se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{AB} \,\! = \overline{EC},} então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\overline{AB} \,\!)^2 = (\overline{EC})^2;} logo podemos igualar as duas relações da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2-2.\cos(\text{a}+\text{b})= 2-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}}

Podemos, por fim isolar o cosseno da soma em um dos lados da igualdade:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}+\text{b}) =\frac{-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}+2-2}{-2}\Rightarrow\cos(\text{a}+\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}} .

Cosseno da diferença:^[1]

De forma similar ao cosseno da soma, o cosseno da diferença pode ser expresso por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{a}.\sen\text{b}}

Demonstração:

Seja o cosseno da soma já demonstrado, podemos demonstrar o cosseno da diferença através de algebrismos simples:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}-\text{b})=\cos[\text{a}+(-\text{b})]}

Assim, aplicando-se a formula do cosseno da soma obtêm-se:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos[\text{a}+(-\text{b})]=\cos\text{a}.\cos(-\text{b})-\sen\text{a}.\sen(-\text{b})}

De tal modo, sabendo que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(-\text{b})=-\sen\text{b}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-\text{b})=\cos\text{b}}

Podemos reescrever como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.(-\sen\text{b})}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{a}.\sen\text{b}}

Seno da soma

Para descobrir o seno da soma entre dois arcos segue a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}+\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}

Demonstração:

Através das relações de simetria entre seno e cosseno, sabemos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\text{x}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\text{x}\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\text{x}=\sen\left(\frac{\pi}{2}-\text{x}\right)}

Assim, podemos escrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}+\text{b})=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(\text{a}+\text{b})\right] = \cos\left[(\frac{\pi}{2}-\text{a})-\text{b}\right]}

Aplicando-se a já demonstrada fórmula do cosseno da diferença, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left[(\frac{\pi}{2}-\text{a})-\text{b}\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\text{a}\right).\cos\text{b}+\sen\left(\frac{\pi}{2}-\text{a}\right).\sen\text{b}}

Portanto, aplicando novamente as relações de simetria, chegamos à formula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}+\text{b})= \sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}

Seno da diferença

De forma similar ao seno da soma, o seno da diferença é expresso por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{b}.\cos\text{a}}

Demonstração:

Seja o seno da soma já demonstrado, é possível demonstrar o seno da diferença através de algebrismos simples:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}-\text{b})=\sen[\text{a}+(-\text{b})]}

Aplicando-se a fórmula do seno da soma temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen[\text{a}+(-\text{b})]=\sen\text{a}.\cos(-\text{b})+\sen(-\text{b}).\cos\text{a}}

Tendo em mente que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(-\text{b})=-\sen\text{b}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-\text{b})=\cos\text{b}}

Podemos reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.(\cos\text{b})+(-\sen\text{b}).\cos\text{a}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{b}.\cos\text{a}}

Tangente da Soma^[1]

Para obter a tangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}}

Demonstração:

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\text{x}=\frac{\sen\text{x}}{\cos\text{x}},} podemos escrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\sen(\text{a}+\text{b})}{\cos(\text{a}+\text{b})}}

Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do seno e do cosseno da soma, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}}

Podemos dividir o denominador e o numerador por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\text{a}.\cos\text{b}} de forma a reescrever a fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}=\frac{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}+\frac{\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}-\frac{\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}}

Simplificando, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{1.\tan\text{a}+1.\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}.}

Tangente da diferença

De forma análoga à tangente da soma, a tangente da diferença pode ser obtida através da fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}-\tan\text{b}}{1+\tan\text{a}.\tan\text{b}}}

Demonstração:

Sabendo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}-\text{b})=\tan[\text{a}+(-\text{b})]}

Podemos aplicar a fórmula da tangente da soma do seguinte modo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan[\text{a}+(-\text{b})]=\frac{\tan\text{a}+\tan(-\text{b})}{1-\tan\text{a}.\tan(-\text{b})}}

Tendo em mente que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(-\text{b})=-\tan\text{b},} podemos reescrever como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}+(-\tan\text{b})}{1-\tan\text{a}.(-\tan\text{b})}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}-\tan\text{b}}{1+\tan\text{a}.\tan\text{b}}.}

Cotangente da soma

Para calcular a cotangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}+\cot\text{b}}}

Demonstração:

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\text{x}=\frac{\cos\text{x}}{\sen\text{x}},} podemos escrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cos(\text{a}+\text{b})}{\sen(\text{a}+\text{b})}.}

Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do cosseno e do seno da soma, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}}

Podemos dividir o numerador e o denominador por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\text{a}.\sen\text{b}} para reescrever a fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})= \frac{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}=\frac{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}-\frac{\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}+\frac{\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}}

Simplificando:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{1.\cot\text{b}+1.\cot\text{a}}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}+\cot\text{b}}}

Cotangente da diferença

De forma análoga à cotangente da soma, pode-se calcular a cotangente da diferença entre dois arcos aplicando-se a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}-\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}+1}{\cot\text{b}-\cot\text{a}}}

Demonstração

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}-\text{b})=\cot[\text{a}+(-\text{b})],} podemos aplicar a fórmula da cotangente da soma da seguinte maneira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot[\text{a}+(-\text{b})]=\frac{\cot\text{a}.\cot(-\text{b})-1}{\cot\text{a}+\cot(-\text{b})}}

Sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(-\text{b})=-\cot\text{b},} podemos reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}-\text{b})=\frac{\cot\text{a}.(-\cot\text{b})-1}{\cot\text{a}+(-\cot\text{b})}=\frac{-\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}-\cot\text{b}}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}+1}{\cot\text{b}-\cot\text{a}}}

Função geral

A função geral é uma representação das funções trigonométricas criada a fim de simplificar e tornar mais intuitivas suas propriedades e relações. Ela é definida do seguinte modo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_0(\theta) = \cos(\theta)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D^n_\theta V_x(\theta)=V_{n+x}(\theta)} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D^n_x} é a notação de Euler para diferenciação. Exemplificam-se as abaixo as representações tradicionais na forma generalizada :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{-2}(x)=-\cos(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{-1}(x)=\sen(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_0(x)=\cos(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{0,5}(x)=\cos(x-\pi/4)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1(x)=-\sen(x)}

Detalhes de notação: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a=V_a(0)}

Propriedades

Base par: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_p(\theta)=V_p(-\theta)}
Relação fundamental: se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-b} for um número ímpar, então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a^2(x)+V_b^2(x)=1}
Base ímpar:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_i(\theta)=-V_i(-\theta)}
Mudança de Base: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(\theta)=V_b\left(\theta +\tfrac{a-b}{2}\pi\right)}
Periodicidade da base: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(\theta)=(-1)^{k}V_{a+2k}(\theta), k\in \mathbb{Z}}
Periodicidade do arco: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(\theta)=V_a(\theta + 2k\pi), k\in \mathbb{Z} }
Extrusão de base: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a (\theta) = V_0 \left(\theta+a\frac{\pi}{2}\right)}
"Passar arco para o outro lado": Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_\alpha (x+a) = V_\beta (b) \implies V_\alpha (x) = V_\beta(b-\alpha)}

Transformação soma-produto

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(x)+V_b(y)=2 V_{\tfrac{a+b}{2}}\left(\tfrac{x+y}{2}\right)V_{\tfrac{a-b}{2}}\left({\tfrac{x-y}{2}}\right)}

Exemplos:

Soma de cossenos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \cos(a)+\cos(b)&=&2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\ \iff V_0(a)+V_0(b)&=&2V_{\tfrac{0+0}{2}} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{0-0}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_0(a)+V_0(b)&=&2V_0 \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_0\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \end{cases}}
Diferença de cossenos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}\cos(a)-\cos(b)&=&-2\sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_0(a)+V_2(b)&=&2V_{\tfrac{0+2}{2}} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{0-2}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_0(a) + V_2(b) &=&2V_1 \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \iff \\\iff V_0(a) + V_2(b) &=& -2V_{-1} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\end{cases}}
Soma de senos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a)+\sen(b)&=&2\sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff\\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=& 2V_{\tfrac{-1-1}{2}} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{-1+1}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=& 2V_{-1} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_0\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\end{cases}}
Diferença de senos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a)-\sen(b)&=&2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_1(b)&=& 2V_{\tfrac{-1+1}{2}} \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{-1-1}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_1(b) &=& 2V_0 \left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \end{cases}}

Transformação de produto em soma

É também possível transformar produto de gerais em soma de gerais. Isto é feito da seguinte forma:

Para 2 termos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(x)V_b(y)=\tfrac{1}{2}[V_{a+b}(x+y)+V_{a-b}(x-y)]}
Para 3 termos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(x)V_b(y)V_c(z)=\tfrac{1}{4}[V_{a+b+c}(x+y+z)+V_{a+b-c}(x+y-z)+V_{a-b+c}(x-y+z)+V_{a-b-c}(x-y-z)]}
Para 4 termos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(w)V_b(x)V_c(y)V_d(z) = \frac{1}{8}\left[\begin{array}{c} V_{a+b+c+d}(w+x+y+z) + V_{a+b+c-d}(w+x+y-z)+\\+V_{a+b-c+d}(w+x-y+z)+V_{a+b-c-d}(w+x-y-z)+\\ +V_{a-b+c+d}(w-x+y+z) + V_{a-b+c-d}(w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c+d}(w-x-y+z)+V_{a-b-c-d}(w-x-y-z)\end{array}\right]}
Para 5 termos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(v)V_b(w)V_c(x)V_d(y)V_e(z) = \frac{1}{16}\left[\begin{array}{c} V_{a+b+c+d+e}(v+w+x+y+z) + V_{a+b+c+d-e}(v+w+x+y-z)+\\ +V_{a+b+c-d+e}(v+w+x-y+z) + V_{a+b+c-d-e}(v+w+x-y-z)+\\+ V_{a+b-c+d+e}(v+w-x+y+z) + V_{a+b-c+d-e}(v+w-x+y-z)+\\ +V_{a+b-c-d+e}(v+w-x-y+z) + V_{a+b-c-d-e}(v+w-x-y-z)+\\+ V_{a-b+c+d+e}(v-w+x+y+z) + V_{a-b+c+d-e}(v-w+x+y-z)+\\ +V_{a-b+c-d+e}(v-w+x-y+z) + V_{a-b+c-d-e}(v-w+x-y-z)+\\+ V_{a-b-c+d+e}(v-w-x+y+z) + V_{a-b-c+d-e}(v-w-x+y-z)+\\ +V_{a-b-c-d+e}(v-w-x-y+z) + V_{a-b-c-d-e}(v-w-x-y-z) \end{array}\right]}

Repare a sequência binária nos sinais '+' e '-'. Para 3 termos, por exemplo, note que os sinais entre 'a', 'b' e 'c' se comportam da seguinte maneira: ++, +-, -+, --. O comportamento binário é observado para qualquer quantidade de termos. Tal formulação é bastante vantajosa para um alto número de termos, encontrados, entre outros, no estudo de máquinas elétricas (como no cálculo do torque eletromagnético, que demanda 3 termos) - a qual seria de difícil obtenção através dos meios tradicionais.

Exemplos:

Produto do seno com o cosseno: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a)\cos(b)&=&\tfrac{1}{2}[\sen(a+b)+\sen(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1+0}(a+b) +V_{-1-0}(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b) +V_{-1}(a-b)] \end{cases}}
Produto de cossenos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \cos(a)\cos(b)&=&\tfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{0+0}(a+b) +V_{0-0}(a-b)]\iff \\\iff V_0(a)V_0(b) &=&\tfrac{1}{2}[V_0(a+b) +V_0(a-b)]\end{cases}}
Produto do cosseno com o seno: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \cos(a)\sen(b)&=&\tfrac{1}{2}[\sen(a+b)-\sen(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{0-1}(a+b) +V_{0+1}(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b) +V_1(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b)-V_{-1}(a-b)] \end{cases}}
Produto de senos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a)\sen(b)&=&\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1-1}(a+b) +V_{-1+1}(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-2}(a+b) +V_0(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[-V_0(a+b)+V_0(a-b)] \end{cases}}

Soma de arcos

Para uma geral de dado arco, é possível decompô-la em soma de produtos de gerais de outros arcos.

Em 2 arcos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(x+y)=V_a(x)V_0(y)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y) }
Em 3 arcos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(x+y+z)=V_a(x)V_0(y)V_0(z)+V_{a+1}(x)V_0(y)V_{-1}(z)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)V_0(z)+V_{a+2}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z) }
Em 4 arcos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(w+x+y+z)=\left(\begin{array}{c} V_{a}(w) V_{0}(x) V_{0}(y) V_{0}(z)+V_{a+1}(w) V_{0}(x) V_{0}(y) V_{-1}(z)+\\ +V_{a+1}(w) V_{0}(x) V_{-1}(y) V_{0}(z)+V_{a+2}(w) V_{0}(x) V_{-1}(y) V_{-1}(z)+\\ +V_{a+1}(w) V_{-1} (x) V_{0}(y) V_{0}(z)+V_{a+2}(w) V_{-1}(x) V_{0}(y) V_{-1}(z)+\\ +V_{a+2}(w) V_{-1}(x) V_{-1}(y) V_{0}(z)+V_{a+3}(w) V_{-1} (x) V_{-1}(y) V_{-1}(z)\\ \end{array}\right) }
Em 5 arcos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a(v+w+x+y+z) = \left(\begin{array}{c} V_{a} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+2} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\ +V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+4} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z) \end{array}\right) }

Note a sequência binária na base das funções gerais V(y) e V(z): 00, 0(-1), (-1)0, (-1)(-1). O comportamento binário é observado para qualquer 'n'. A base da função geral da esquerda, V(x), altera-se, em cada termo da soma para manter igual a soma das bases iguais à base inicial:

No caso, para 2 arcos, note que, na base, tem-se:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}a+0+0=a\\ (a+1)+0+(-1) = a\\ (a+1)+(-1)+0 = a\\ (a+2)+(-1)+(-1)=a \end{cases}}

Exemplos:

Cosseno da soma:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \cos(a + b) &=& \cos(a)\cos(b)-\sen(a)\sen(b)\iff\\ \iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(b)\iff\\ \iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_1(a)V_{-1}(b)\iff\\ \iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)-V_{-1}(a)V_{-1}(b) \end{cases}}
Seno da soma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a + b) &=& \sen(a)\cos(b)+\cos(a)\sen(b)\iff\\ \iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_0(b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(b)\iff\\ \iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_0(b)+V_0(a)V_{-1}(b) \end{cases}}
Seno da diferença: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sen(a - b) &=& \sen(a)\cos(b)-\cos(a)\sen(b)\iff\\ \iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_0(-b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(-b)\iff\\ \iff V_{-1}(a-b)&=& V_{-1}(a)V_0(b)-V_0(a)V_{-1}(b) \end{cases}}
Cosseno da diferença: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \cos(a - b) &=& \cos(a)\cos(b)+\sen(a)\sen(b)\iff\\ \iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(-b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(-b)\iff\\ \iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(-b)+V_1(a)V_{-1}(-b)\iff\\ \iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_{-1}(a)V_{-1}(b) \end{cases}}

Soma de arcos defasados com ângulo comum variável

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} uma função de natureza exponencial (seja real ou complexa).

Exemplos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sum_i A_i V_{\alpha_i}(x-\beta_i)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sum_i A_i e^{j(x+\alpha_i)} + \sum_i B_i e^{j(-x+\beta_i)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} é um fasor

É válida a seguinte identidade:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = f(0)\cdot V_0(x) + f'(0) \cdot V_{-1}(x)}

Como a função foi decomposta em soma ponderada de seno e cosseno com ângulo comum variável em função de x, pode-se juntar os dois arcos da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AV_0 (x) + BV_{-1}(x) = \sgn(A)\sqrt{A^2+B^2} V_0 \left(x- \tan^{-1}\frac{B}{A}\right)}

Fórmulas de arco múltiplo

T_n é o enésimo Polinômio de Chebyshev	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos n\theta =T_n (\cos \theta )} ^[19]
S_n é o enésimo polinômio de abertura	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^2 n\theta = S_n (\sen^2\theta)}
Fórmula de De Moivre, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} é a unidade imaginária	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos n\theta +i\sen n\theta=(\cos(\theta)+i\sen(\theta))^n} ^[20]

Formulas de arco duplo, triplo e metade

É possível obter as funções trigonométricas quando temos um ângulo sendo multiplicado ou divido, conforme as fórmulas da tabela abaixo.

A seguir temos as demonstrações dessas propriedades.

Fórmulas de arco duplo^[21]^[22]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sen^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}}
Fórmulas de arco triplo^[19]^[23]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sen 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sen\theta - \sen^3\theta \\ & = 3\sen\theta - 4\sen^3\theta \end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sen^2 \theta\cos \theta \\ & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}}
Fórmulas de arco metade^[24]^[25]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}&\sen \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left( \!\! 2 \pi \! - \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 \! - \! \cos \theta}{2}} \\ \\ &\left(\mathrm{ou}\,\,\sen^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\right)\end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}&\cos \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left(\!\! \pi \! + \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\pi \! - \! \theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\ \\ &\left(\mathrm{ou}\,\,\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}\right)\end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sen \theta} \\[10pt] \tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sen\eta+\sen\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt] \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt] \sqrt{\frac{1 - \sen\theta}{1 + \sen\theta}} & = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \\[8pt] \tan\tfrac{1}{2}\theta & = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &\mbox{para}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right) \end{align}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sen \theta} \end{align}}

Fórmulas da duplicação de ângulos

Seno do dobro

Para calcular o seno de um arco do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2.\text{a}} utiliza-se a fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(2\text{a})=2.\sen\text{a}.\cos\text{a}}

Demonstração:

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(2.\text{a})=\sen(\text{a}+\text{a}),} podemos aplicar a fórmula do seno da soma, de modo que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(\text{a}+\text{a})=\sen\text{a}.\cos\text{a}+\sen\text{a}.\cos\text{a}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen(2\text{a})=2.\sen\text{a}.\cos\text{a}}

Cosseno do dobro

Para calcular o cosseno de um arco do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2.\text{a}} pode-se utilizar as seguintes fórmulas:

- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a}}

Demonstração:

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2.\text{a})=\cos(\text{a}+\text{a})} podemos aplicar a fórmula do cosseno da soma para obter:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a}+\text{a})=\cos\text{a}.\cos{a}-\sen\text{a}.\sen\text{a}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a}}

- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=2.\cos^2\text{a}-1}

Demonstração:

Seja a relação fundamental Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\text{a}+\sen^2\text{a}=1,} já demonstrada, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen^2\text{a}=1-\cos^2\text{a}}

Aplicando-se essa relação na fórmula demonstrada acima temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-(1-\cos^2\text{a})=\cos^2\text{a}-1+\cos^2\text{a}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=2.\cos^2\text{a}-1}

- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=1-2.\sen^2\text{a}}

Demonstração

Seja a relação fundamental Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\text{a}+\sen^2\text{a}=1,} temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\text{a}=1-\sen^2\text{a}}

Ao aplicarmos isso na fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a},} temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=1-\sen^2\text{a}-\sen^2\text{a}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{a})=1-2.\sen^2\text{a}}

Tangente do dobro

Para calcular a tangente de um arco do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2.\text{a}} pode-se utilizar a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(2\text{a})=\frac{2.\tan\text{a}}{1-\tan\text{a}}}

Demonstração:

Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(2.\text{a})=\tan(\text{a}+\text{a}),} podemos aplicar a fórmula da tangente da soma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\text{a}+\text{a})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{a}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{a}}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(2\text{a})=\frac{2.\tan\text{a}}{1-\tan^2\text{a}}}

Fórmulas da divisão do ângulo em dois

Seno da divisão

Para calcular o seno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}}

Demonstração:

Sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2.\text{x})=1-2.\sen^2\text{x},} podemos definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{\text{a}}{2}} de modo a reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\text{a})=1-2.\sen^2\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}

Logo, isolando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)} temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}}

Cosseno da divisão

Para calcular o cosseno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}}

Demonstração:

Sabendo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(2\text{x})=2.\cos^2\text{x}-1} podemos definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{\text{a}}{2},} de modo a reescrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\text{a}=2.\cos^2\left(\frac{\text{a}}{2}\right)-1}

Portanto, isolando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)} temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}}

Tangente da divisão

Para calcular a tangente da metade de um arco, utiliza-se a fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{1+\cos\text{a}}}}

Demonstração:

Para demonstrar essa fórmula utilizaremos as duas fórmulas demonstradas acima, da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\frac{\sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}}{\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}}=\pm\sqrt{\frac{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}{\frac{\cos\text{a}+1}{2}}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}.\frac{2}{\cos\text{a}+1}}}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{1+\cos\text{a}}}}

Note que, para esses três casos, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm} significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A/2.} ^[1]

Fórmulas de redução de potências

Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\theta\,\text{e}\operatorname{sen}^2\theta\,\text{.}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\theta = \left(\frac {1 + \cos(2\theta)}{2}\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{sen}^2\theta = \left(\frac {1 - \cos(2\theta)}{2}\right)}

Produto para soma e soma para produto

Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.

Produto para soma^[26]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta \sen \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta \cos \varphi = {\sen(\theta + \varphi) + \sen(\theta - \varphi) \over 2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta \sen \varphi = {\sen(\theta + \varphi) - \sen(\theta - \varphi) \over 2}}

Soma para produto^[27]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta \pm \sen \varphi = 2 \sen\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta - \cos \varphi = -2\sen\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sen\left({\theta - \varphi \over 2}\right)}

Cálculo

REDIRECIONAMENTO Predefinição:VT

Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\theta\to 0} {\sen\theta}/\theta = 1} e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\partial}{\partial\theta} \operatorname{sen\theta} = \cos\theta}

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação, por exemplo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\partial}{\partial\theta} \cos\theta = -\operatorname{sen}\theta} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\partial}{\partial\theta} \tan\theta = \sec^2\theta}

Definições exponenciais

Função	Função inversa^[28]
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sen \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsen} x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos x = i\,\ln\left(x-i\,\sqrt{1-x^2}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta}}	Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x }

Ver também

Trigonometria

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria - 8 ed. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704570
↑ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
↑ «The Elementary Identities». Consultado em 17 de junho de 2012. Arquivado do original em 30 de julho de 2017
↑ Carmo, Manfredo Perdigão do (2005). Trigonometria/Números Complexos. Rio de Janeiro: SBM
↑ «Trigonometria: Arcos complementares»
↑ Dolce, Olsvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana 9 ed. São Paulo: Atual. 45 páginas. ISBN 9788535716863
↑ «Razões trigonométricas de um ângulo agudo»
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 Predefinição:MathWorld
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
↑ ^19,0 ^19,1 Predefinição:MathWorld
↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
↑ Predefinição:MathWorld
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
↑ Predefinição:MathWorld
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria - 8 ed. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704570

[2] Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45

[3] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15

[4] «The Elementary Identities». Consultado em 17 de junho de 2012. Arquivado do original em 30 de julho de 2017

[5] Carmo, Manfredo Perdigão do (2005). Trigonometria/Números Complexos. Rio de Janeiro: SBM

[6] «Trigonometria: Arcos complementares»

[7] Dolce, Olsvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana 9 ed. São Paulo: Atual. 45 páginas. ISBN 9788535716863

[8] «Razões trigonométricas de um ângulo agudo»

[9] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9

[10] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8

[11] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16

[mathworld_addition-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 Predefinição:MathWorld

[13] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17

[14] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18

[15] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19

[16] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42

[17] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43

[18] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36

[mathworld_multiple_angle-19] 19,0 ^19,1 Predefinição:MathWorld

[20] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48

[21] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26

[mathworld_double_angle-22] Predefinição:MathWorld

[23] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28

[24] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22

[mathworld_half_angle-25] Predefinição:MathWorld

[26] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33

[27] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39

[28] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31

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