Fórmula de De Moivre

A fórmula de De Moivre afirma que:

$(\cos x+i\mathrm {sen} \,x)^{n}=\cos(nx)+i\mathrm {sen} \,(nx)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z$

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

$\cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)$

é frequentemente abreviada por:

$\mathrm {cis} \left(x\right)$.

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)$

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral:

$(|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z$

Demonstração

Vamos demonstrar a fórmula para $n\in \mathbb {N}$ por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

$z^{n}=(|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right).\,\forall x\in \Re$, $n\in \mathbb {N}$ e com $z$ sendo um número complexo.

Para $n=1$ a identidade é verdadeira, pois tem-se $z=|z|\left(\cos x+i\sin x\right)$, que é a representação na forma polar de um número complexo (com $r=|z|$ e $\theta =x$).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para $n=k$ e provemos que também o é para $n=k+1$. Temos:

$z^{k+1}=zz^{k}=|z|^{k+1}\left(\cos x\cos(kx)+i(\cos x\sin(kx)+\sin x\cos(kx))-\sin x\sin(kx)\right)=|z|^{k+1}\left(\cos(x(k+1))+i\sin \left(k(x+1)\right)\right)$

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ e $\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$.

Queremos agora generalizar para $n\in \mathbb {Z}$. Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos $z^{0}=1$

Consideremos $m=-n\in \mathbb {N}$. Então:

$z^{n}=(z^{-1})^{m}={\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}$

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante $-x$ e não $x$. Agora:

${\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}=|z|^{-m}\left(\cos -mx+isin-mx\right)$

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como $n$ é negativo, $m$ é positivo (natural).

Substituindo de volta por $n=-m$:

$z^{n}=|z|^{n}\left(\cos nx+i\sin nx\right),\forall n\in \mathbb {Z}$, Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para $|z|=1$