Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.
Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.
Definição e notação
Seja um conjunto aberto e um número real. Uma função é dita Hölder-contínua com expoente se existir uma constante real tal que:
Observe que se o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.
Neste caso, podemos definir a -ésima semi-norma de Hölder como o ínfimo das constantes com a propriedade acima, ou, ainda:
Se for ainda uma função limitada em , então a norma do supremo está bem definida:
E a -ésima norma de Hölder é, então, definida como:
O espaço de Hölder consiste de todas as funções que pertencem ao espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma:
onde é um multi-índice, sua ordem é dada por:
E a derivada de ordem é dada por:
Referências
- Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer.