Função Lipschitz contínua

Em matemática, sobretudo na análise real, uma função Lipschitz contínua é um critério de suavidade mais forte que a condição de continuidade uniforme (logo, de continuidade). O nome tem origem no matemático alemão Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.

As funções Lipschitz contínuas são um caso particular das funções Hölder contínuas.

Definição mais geral em espaços métricos

Sejam $(X,d)$ e $(Y,d)$ espaços métricos. Uma função $f:X\to Y$ é dita Lipschitz contínua se existir uma constante real $L>0$ tal que:

$$d\left(f(x),f(y)\right)\leq L\cdot d(x,y),$$

$\forall x,y\in X$

O ínfimo das constantes $L$ para o qual a desigualdade acima é válida é chamado de constante de Lipschitz.

Caso particular nos reais

Uma função $f:X\to \mathbb {R}$ é dita Lipschitz contínua, se existir uma constante $L\geq 0$ tal que:

$$\left|f(x)-f(y)\right|\leq L|x-y|,~~\forall x,y\in X$$

Se $f$ for diferenciável então:

$$\left|{\frac {df}{dx}}\right|\leq L$$

Generalização

Uma função $f$ é dita localmente Lipschitz contínua se para cada ponto $x$ do domínio existe uma vizinhança $V(x)$ tal que a restrição de $f$ a $V(x)$ é Lipschitz contínua.

Casos especiais

• Uma função $f:X\to X$ é dita uma contração uniforme se sua constante de Lipschitz for menor que 1.
• Uma função $f:X\to X$ é dita uma contração se:

  $d\left(f(x),f(y)\right)<d(x,y),~~\forall x\neq y\in X$

• Uma função $f:X\to Y$ é dita não expansiva se sua constante de Lipschitz for igual a 1.