No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla
Derivada em função do espaço
Seja um campo escalar diferenciável em função do vector espaço Então:
Em altas ordens
A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):
Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que:
Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.
Em outras coordenadas ortogonais
Para todo sistema de coordenadas ortogonal temos que:
Operações
Seja um campo escalar e um campo vectorial ambos diferenciáveis em função do vector espaço
Gradiente
Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.
Portanto o gradiente de para três dimensões no espaço carteseano é dado por:
O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.
Identidades do gradiente
Derivada direcional
A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo, ).
Em coordenadas cartesianas,
Em coordenadas cilíndricas,
Divergência
A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial.
Portanto a divergência de para três dimensões no espaço carteseano é dada pela seguinte soma:
Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.
Identidades da divergência
Rotacional
A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.
Pelo teorema de Laplace o rotor de no espaço carteseano é:
Identidades do rotacional
Operações combinadas
Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano.
…gradiente de | …divergente de | …rotor de | |
---|---|---|---|
Gradiente do… | (indefinido) | Gradiente do divergente | (indefinido) |
Divergente do… | Laplaciano escalar | (indefinido) | (trivial nulo) |
Rotor do… | (trivial nulo) | (indefinido) | Rotor do rotor |
Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:
Laplaciano
O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.
Onde:
O laplaciano de para três dimensões no espaço carteseano é dado pela seguinte soma:
Outras combinações
- dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
- dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
- dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
Laplaciano vectorial
Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.
Onde:
Portanto o laplaciano vectorial de para três dimensões no espaço carteseano é:
Vector del
Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del:
…onde é o módulo do vetor
Em coordenadas cartesianas
Em coordenadas cartesianas, em que obtém-se:
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas em que obtém-se:
Em coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas, em que obtém-se:
Derivada direcional com o vector del
Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de com
Em três dimensões no espaço carteseano temos que:
E:
Divergência com o vector del
A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:
Laplaciano com o vector del
A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:
Em três dimensões no espaço carteseano teriamos que:
Rotacional com o vector del
Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:
Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.
Riscos do abuso de notação
O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.
Alternativas ao símbolo nabla
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:
No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor":
Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.
Notação de Einstein
Na notação de Einstein substituimos a forma por e assumimos o vector del
Seja um campo escalar e um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço
A derivada direcional fica denotada por:
Ver também
Ligações externas
- «A ideia da divergência e rotacional» (em English)