Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional.^[1]

Basicamente o sistema é composto por um subsistema polar na base de um cilindro circular, as coordenadas são: $(\rho ,\phi ,z)\,\!$

Basicamente, a distância da origem à projeção do ponto $P\,\!$ sobre a base, que aparece como $Q\,\!$ , é $\rho \,\!$ , enquanto que a altura relativa do ponto à base, que aparece como ${\overline {QP}}\,\!$ , podemos verificar que é $z\,\!$ .^[1]

Definimos um ponto no espaço através da relação polar da base do cilindro, o que nos fornece as duas primeiras ordenadas, depois adicionamos a altura do ponto em relação a base que é a terceira ordenada. O sentido de rotação do ângulo na base é o mesmo usado para coordenadas polares, o que determina o sinal do ângulo.

Podemos fazer a transformação de uma coordenada retangular em cilíndrica através das relações:

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!$
$\phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$
$z=z\,\!$

Da mesma forma, podemos definir as relações inversas, que nos dão os parâmetros de uma coordenada retangular a partir de uma coordenada cilíndrica:

$x=\rho \cos(\phi )\,\!$
$y=\rho \ {\mbox{sen}}(\phi )\,\!$
$z=z\,\!$

Aplicação ao cálculo integral

Caso queiramos calcular o integral triplo de uma certa região, usando o sistema de coordenadas cilíndricas, é necessário, além da transformação, multiplicar a função integranda pelo Jacobiano da transformação, neste caso $\rho$ .

Então:

$\iiint _{Q}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{C}f(\rho \cos(\phi ),\rho \operatorname {sen}(\phi ),z)\rho \ d\rho d\phi dz$