Matemática

A matemática (do grego máthema: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathematikos: apreciador do conhecimento) é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários sub-campos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns. Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas – simplesmente porque eles acham que as estruturas investigadas são belas em si mesmas.Historicamente, as principais disciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Estas três necessidades podem ser a grosso modo relacionadas à grande subdivisão da matemática no estudo das estruturas, dos espaços e das suas alterações.

O estudo de estruturas começa com os números naturais e números inteiros. As regras que governam as operações aritméticas são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O estudo do espaço se originou com a Geometria, primeiro com a Geometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria de grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação.

Os computadores também contribuiram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem a leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot.

Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numéricamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

Segue uma lista dos tópicos matemáticos.

Quantidades

Números -- Números naturais -- Inteiros -- Números Racionais -- Números Reais -- Números Complexos -- Números Hipercomplexos -- Quaternions -- Octonions -- Sedenions -- Números Hiperreais -- Números Surreais -- Números Ordinais -- Números Cardinais -- Números p-adic -- Seqüências de Inteiros -- Constantes Matemáticas -- Nomenclatura dos Números -- Infinito -- Falha Lógica

Transformações

Aritmética -- Cálculo -- Cálculo Vetorial -- Análise -- Equações Diferenciais -- Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos -- Cálculo Fracional -- Lista de Funções

Estrutura

Álgegra Abstrata -- Teoria dos Números -- Geometria Algébrica -- Teoria dos Grupos -- Monóides -- Análises -- Topologia -- Álgebra Linear -- Teoria de Grafos -- Álgebra Universal -- Teoria das Categorias

Espaço

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria Algébrica -- Geometria Diferencial -- Topologia Diferencial -- Topologia Algébrica -- Álgebra Linear

Matemática Discreta

Combinatória -- Teoria Básica de Conjuntos -- Probabilidade -- Estatística -- Teoria da Computação -- Matemática Discreta -- Criptografia -- Teoria dos Grafos -- Teoria dos Jogos

Matemática Aplicada

Análise Numérica -- Otimização -- Probabilidade -- Estatística -- Problemas Lógicos

Teoremas e Conjecturas Famosas

Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do Continuum -- Conjetura de Goldbach -- Conjetura dos Primos Gêmeos -- Teoremas da Incompletude de Godel -- Conjetura de Poincaré -- Argumento da Diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema do Limite Central -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álgebra -- Teorema das quatro cores -- Lema de Zorn -- Fórmulas Notáveis

Fundações e Métodos

Filosofia da Matemática -- Intuição Matemática -- Construtivismo Matemático -- Fundamentos da Matemática -- Teoria dos Conjuntos -- Lógica Simbólica -- Teoria dos Modelos -- Teoria das Categorias -- Demonstração de Teoremas -- Símbolos Matemáticos

Fatos da Matemática

História da Matemática -- Linha do Tempo da Matemática -- Matemáticos

Conceitos relacionados

Analogia - Número aleatório

Premiações

Prêmio Abel -- Prêmio Problemas do Milênio (Clay Math Prize) -- União Internacional Matemática -- Competições Matemáticas

• Matemática é a ciência que tem por objecto de estudo as relações entre os números, as formas, as grandezas e as operações entre estes elementos;
• Matemáticas: conjunto de ciências em que intervêm as teorias dos números.
• Matemáticas aplicadas: as que consideram as grandezas em determinados corpos ou assuntos;
• Matemáticas Mistas: as que consideram as propriedades da grandeza em certos corpos ou fenômenos particulares, como a Astronomia e a Mecânica;
• Matemáticas Puras: as que estudam as propriedades da grandeza em abstrato como a Geometria e a Álgebra.

Biografias

• Kurt Gödel
• Paul Erdos
• Outros Matemáticos

Teorias

• Teorema da incompletude de Godel
• Teoria dos Jogos
• Teoria das Categorias

Ligações externas

• IMPA Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - Brasil (em português)
• http://proc.no.sapo.pt