Teoria dos grupos

Até mesmo o cubo de Rubik pode ser visto como um puzzle referente a um determinado grupo de permutação.

Em Matemática e em Álgebra Abstrata, a teoria dos grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas chamadas de grupos. De forma mais poética,

“

Teoria dos grupos é o ramo da matemática que responde à questão "O que é simetria?"

”

O conceito de grupo é fundamental para a álgebra abstrata: outras bem conhecidas estruturas algébricas, como os anéis, corpos, e espaços vetoriais, podem todas ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Grupos ocorrem em todas as partes da matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram fortemente vários ramos da álgebra. Os grupos algébricos lineares e os grupos de Lie são dois ramos da teoria dos grupos que experimentaram enormes avanços e por isso são estudados como sub-matérias de maior importância.

Vários sistemas físicos, como os cristais e o átomo de hidrogênio, podem ser modelados por grupos de simetria. Assim, a teoria dos grupos e a intimamente relacionada teoria da representação têm várias aplicações em física e química.

Uma das mais importantes realizações matemáticas do século XX foi o esforço colaborativo, que ocupou mais de 10.000 páginas de periódicos na maior parte publicados entre 1960 e 1980, e que culminou na completa classificação dos grupos simples finitos.

Grupos são usados na Matemática e nas ciências em geral para capturar a simetria interna de uma estrutura na forma de automorfismos de grupo. Uma simetria interna está normalmente associada com alguma propriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva este invariante, juntamente com a operação de composição de transformações, forma um grupo chamado um grupo de simetria.

A teoria de Galois, que é a origem histórica do conceito de grupo, procura descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial. Os grupos solúveis são assim chamados devido ao papel proeminente que possuem nesta teoria.

Grupos abelianos estão presentes em várias estruturas estudadas em álgebra abstrata, como anéis, corpos, e módulos.

Na topologia algébrica, grupos são usados para descrever os invariantes de espaços topológicos. Eles são chamados de "invariantes" porque não mudam se o espaço é submetido a uma transformação. Exemplos incluem o grupo fundamental, grupo de homologias e o grupo de cohomologias.

O conceito de grupo de Lie (em homenagem ao matemático Sophus Lie) é importante no estudo de equações diferenciais em variedades; ele combina análise e teoria de grupos e é portanto a ferramenta certa para descrever as simetrias das estruturas analíticas. Análise neste e outros grupos é chamada de análise harmônica.

Na análise combinatória, a noção de grupo de permutação e o conceito de ação de um grupo são frequentemente utilizados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos.

A compreensão da teoria de grupos é fundamental na Física, onde é utilizada para descrever as simetrias que as leis da Física devem obedecer. O interesse da Física na representação de grupos é grande, especialmente em grupos de Lie, pois suas representações podem apontar o caminho para "possíveis" teorias físicas. Em Química, grupos são utilizados para classificar estruturas cristalinas e a simetrias das moléculas.

Exemplos da Física

Modelo padrão
Teoria de gauge também chamadas de Teoria de calibre.

Exemplos em jogos

Definição de Grupo

Um grupo é um conjunto com elementos $G=\{A,B,C,\ldots \}$ para os quais existe uma operação binária $\cdot :G\times G\to G$ frequentemente chamada de composição ou multiplicação, que satisfaz os seguintes axiomas:

Associatividade: Para quaisquer elementos $a,b,c\in G$ o seu produto satisfaz $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ . Ou seja a composição de três ou mais elementos não depende dos resultados intermédios usados.
Elemento neutro: Existe um elemento especial $e\in G$ que é neutro para a multiplicação. Isto é, para qualquer $a\in G$ , $a\cdot e=e\cdot a=a$ .
Elemento inverso: Todo o elemento $a\in G$ tem um elemento inverso $a^{-1}\in G$ tal que o resultado da sua composição é o elemento neutro. Isto é $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ .

Note que um conjunto com uma operação binária satisfazendo apenas o primeiro axioma (associatividade) diz-se um semigrupo, e um semigrupo que satisfaça os primeiros dois axiomas, diz-se um monóide.

Exemplos e contra-exemplos de grupos

Os números inteiros $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$ formam um grupo quando a composição utilizada é a soma.
Se considerarmos os números inteiros com a operação de multiplicação em vez da soma, deixa de ser um grupo porque quebra o axioma do elemento inverso.
Se considerarmos a operação de subtracção em vez da soma no conjunto dos inteiros, mais uma vez deixa de ser um grupo porque quebra a regra da associatividade.
O conjunto dos números reais positivos $\mathbb {R} _{>0}$ , ou reais não nulos $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ou complexos não-nulos $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , todos formam grupos com a operação de multiplicação.
Dada uma qualquer figura geométrica, $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ o conjunto de todas as funções invertíveis $f:X\to X$ forma um grupo quando tomamos a composição de funções como operação.