Matemática

A matemática (do grego máthema: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathematikos: apreciador do conhecimento) é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários sub-campos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns. Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas – simplesmente porque eles acham que as estruturas investigadas são belas em si mesmas.

Historicamente, as principais disciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Estas três necessidades podem ser a grosso modo relacionadas à grande subdivisão da matemática no estudo das estruturas, dos espaços e das suas alterações.

O estudo de estruturas começa com os números naturais e números inteiros. As regras que governam as operações aritméticas são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O estudo do espaço se originou com a Geometria, primeiro com a Geometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria de grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação.

Os computadores também contribuiram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem a leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot.

Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numéricamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

Segue uma lista dos tópicos matemáticos.

Quantidades

Números -- Números naturais -- Inteiros -- Números Racionais -- Números Reais -- Números Complexos -- Números Hipercomplexos -- Quaternions -- Octonions -- Sedenions -- Números Hiperreais -- Números Surreais -- Números Ordinais -- Números Cardinais -- Números p-adic -- Seqüências de Inteiros -- Constantes Matemáticas -- Nomenclatura dos Números -- Infinito -- Falha Lógica

CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA DAS PROBABILIDADES NA MATEMÁTICA : 350 ANOS DE PROBABILIDADES

“Três séculos e meio atrás, a ciência iniciou uma jornada intelectual cujo objectivo era medir o acaso e, com isso, exercer maior controlo sobre os fenómenos naturais. Curiosamente, a teoria da probabilidade contou na sua origem com o estímulo de questões levantadas pela observação e prática de jogos de azar. Para que esse corpo teórico chegasse ao actual rigor da sua forma e linguagem, foi preciso primeiramente vencer, além de obstáculos filosóficos, o hiato entre a teoria e a experiência.”

Adaptado de: “ CIÊNCIA HOJE “ vol. 34 n º 201 página 76

Imaginemos que nos encontrámos num simples concurso televisivo, típico americano, em que nos dão três portas como escolha. Apenas numa delas se encontra o prémio máximo duma exagerada quantia em dólares (daquela que nunca teremos nas nossas contas bancárias). Cada porta está numerada com um número: 1, 2 e 3. Façamos de conta que escolhemos a porta número 3. Aí, o apresentador revela o que encontrava por detrás da porta 2 (por exemplo), e constatamos que não era o prémio máximo. Mesmo antes de revelar o que se esconde por detrás da porta número 3, o apresentador dá-nos à escolha entre permanecer com a porta escolhida por nós (3), ou então trocá-la pela porta número 1. O que faríamos? Estúpidos seríamos se não trocássemos de porta. Porquê?

Uma mera questão de raciocínio lógico, norteado pelos princípios das probabilidades. Vejamos então: quando escolhemos a porta número 3, de início, tínhamos duas opções de escolher a porta errada, contra apenas uma possibilidade de escolher a porta acertada. Quando se abriu a porta número 2 constatamos que agora seria 50/50, ou seja, ou tínhamos escolhido a porta certa, ou não. No entanto, de início maior era a possibilidade de ter escolhido a porta errada. Visto que uma porta já fora excluída, possivelmente (e atendendo mais uma vez à situação inicial), teríamos a porta errada (75% das probabilidades de ter escolhido a porta errada no inicio), e não a porta que nos levaria a preencher o vazio da nossa conta bancária…

Até num simples programa televisivo, a Probabilidade está latente. E fora realmente com simples jogos de lazer, chamados “jogos de azar” que todo um estudo se iniciou em torno das Probabilidades. Ninguém gosta de perder, certo? Tal como quase todos os ramos da ciência, o estudo das probabilidades iniciou-se por baixo, ou seja, no senso comum, com a tentativa de explicar fenómenos quotidianos e aleatórios, tantas vezes julgados por ordem Divina. Crê-se que mesmo na pré-história já se usariam dados feitos de osso e, consecutivamente, já se semeava o interesse pelas probabilidades. Mas o primeiro grande interesse pelas Probabilidades surgiu na época romana e grega, pela mão do imperador Cláudio, quando nas suas horas de lazer jogava com dados. Todo este período não passou de uma fase pré-histórica para as probabilidades. P ode-se dizer que a verdadeira teoria da probabilidade, essa sim, começa no século XVII com os trabalhos de dois grandes nomes da ciência: os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). Antoine Gombaud (1607-1684), um importante cavalheiro conhecido como Chevalier de Méré e também um jogador entusiasmado, discutia com Pascal temas relacionados com a possibilidade de sucesso em jogos de cartas. Pascal, interessado no assunto, correspondeu-se com Fermat. Nessas cartas, escritas em 1654 – há 350 anos, portanto –, encontramos o desenvolvimento do que hoje chamamos probabilidade finita . Evidentemente, outros nomes famosos estão ligados à teoria da probabilidade. A primeira obra conhecida sobre o assunto é “De ludo aleae” (Sobre os jogos de azar), do médico e matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576), publicada em 1663, quase 90 anos após sua morte. Trata-se, na verdade, de um manual para jogadores: as discussões sobre probabilidade ocupam pequena parte da obra. O primeiro trabalho impresso sobre teoria das probabilidades, de 1657, é de autoria do cientista holandês Christian Huygens (1629-1695): um pequeno folheto intitulado “ De ratiociniis in ludo aleae” (Sobre o raciocínio em jogos de azar). Outro italiano, o físico e astrónomo Galileu Galilei (1564-1642), também se preocupou com eventos equiparáveis ou aleatórios. Num fragmento escrito provavelmente entre 1613 e 1623, intitulado “Sopra le scorpete dei dadi” (Sobre os jogos de dados), Galileu responde a uma pergunta feita, acredita-se, pelo Grão-duque da Toscana: o problema de que tratamos neste pequeno trabalho. Outro matemático importante para o desenvolvimento da teoria da probabilidade foi o francês Abraham de Moivre (1667-1754), que escreveu uma obra de grande influência e com nome pomposo: “Doctrine of chances” (Doutrina do acaso). Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades. Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a "arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra " Ars Conjectandi ", foi publicada oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades adquiriu o estatuto de ciência. Nos séculos 18 e 19, aprofundou-se o estudo das probabilidades, e situações mais complexas foram abordadas. Destacam-se nessa época os matemáticos franceses Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) e Siméon Poisson (1781-1840), e o matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O desenvolvimento da teoria dos conjuntos e um novo olhar para o conceito de medida proporcionaram, no início do século passado, a possibilidade de um tratamento rigoroso dos fenómenos probabilísticos. Um marco foi a publicação em 1933 do livro “ Osnovnye doniatiya teorii veroyatnostei ” (Fundamentos da teoria da probabilidade), do matemático russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) (por acaso um nome um “ cadinho” de nada confuso J ). A obra lança as bases da moderna teoria da probabilidade. Para se chegar a esse grau de linguagem sobre eventos aleatórios, foi necessário muito tempo. Vários momentos históricos tiveram que ser vividos, cada um deles com a sua maneira própria de pensar e de estar socialmente no mundo. Para se subir a um patamar, há que escalar inúmeros degraus…

"A melhor maneira de prever o futuro é lembrar o que já passou…"

George Savile

APLICAÇÃO DAS PROBABILIDADES NA ACTUALIDADE

Quem pensa nas probabilidades, de certo, só lhe vem à memória assuntos relacionados com a matemática pura e com jogos de azar... No entanto, não é bem assim. O estudo das probabilidades tem-se vindo a desenvolver também noutras áreas científicas, nomeadamente na biologia, física, engenharias, na estatística, em companhias de seguros, enfim, em inúmeas áreas... Falemos agora um bocadinho de cada uma. Na BIOLOGIA, para quem conhece minimamente o fenómeno da hereditariedade, sabe também que Gregor Mendel aplicou o seu estudo sobre probabilidades nas suas teorias, heje em dia ainda acutais (ainda que com algumas modificações). Mendel desenvolveu o seu estudo e demonstrou-o através do livro “A Matemática da Hereditariedade” esta obra foi considerada como uma das primeiras aplicações importantes da Teoria das Probabilidades à Biologia. Com uma simples analogia entre os gãmetas e uma moeda, Mendel revolucionou o mundo da ciência...

Quem é que ainda não viu aquelas estatísticas na televisão? A elas está também associado o estudo das probabilidades. Na estatística, assim como na sociedade, as probabilidades ocupam um lugar prestigiado... Pensamos que será desnecessário estarmos a referir todas as aplicações das probabilidades na estatística, assim como na sociedade actual: basta ligarmos a televisão, o rádio ou ler um jornal...

Nas engenharias, as probabilidades surgem como controladoras da produção industrial, assim como no controlo de qualquer contigente militar: a difusão dos métodos estatísticos e probabilisticos na engenharia só iniciou durante a 2ª Guerra Mundial. Os americanos e os ingleses desenvolveram um grande programa, procurando disseminar a pratica do controlo de qualidade estatística na produção militar.

A partir do sec. XVIII os instrumentos de medida na física e também noutras áreas, sofreram um grande desenvolvimento e com isso ficaram mais acessíveis, o que fez com que se multiplicassem as observações quantitativas em laboratório e em campo. Logo, os físicos deixaram de se contentar em ter conseguido medir, passaram a buscar a melhor medida possível. Em termos mais precisos, queriam a resposta do “Problema fundamental da teoria dos erros”. Este problema foi exaustivamente aprofundado por Laplace, Gauss e Legendre. Até metade do sec XIX os físicos viam a teoria dos erros como a única utilidade das probabilidades. No entanto, Maxwell derrubou esse preconceito. As ideias de Maxwell foram tornadas ao mesmo tempo práticas e mais gerais com Josiah W. Gibbs, com seu “Princilples of statistical mechanics”, 1902, uma das obras mais importantes já escritas em toda a história da humanidade. Esta obra deu uma maturidade à abordagem probabilística dos fenómenos físicos.

O formalismo da Mecânica Estatística mostrou o quanto a teoria das Probabilidades era útil para estender o poder da ciência clássica e equipá-la com instrumentos capazes de uma análise muito mais ampla do comportamento da matéria e da energia; o estudo das reacções químicas, dos processos termodinâmicos, etc.

Finalmente, o estudo das probabilidades desenvolveu em grande escala os seguros. Ao longo dos tempos, foram surgindo técnicas desenvolvidas pelas seguradoras. Tais técnicas baseavam-se em estimativas empíricas das probabilidades de acidentes. No final da Idade Média surgiu um novo tipo de seguro: seguro de vida. Em torno destes seguros surgiram os primeiros estudos matemáticos. Claro está que as seguradoras não tinham prazer em não lucrar... O primeiro matemático que se debruçou sobre este estudo foi Cardano em 1570, embora o seu estudo tenha sido pouco relevante. Daniel Bernoulli e Halley foram importantes matemáticos que investiram no estudo das probabilidades ligadas ao ramos dos seguros... Tão importantes que hoje em dia os negócios de seguros ampliaram-se e sofisticaram-se cada vez mais. Estes fortificaram o mercado de trabalho, bem como, ampliaram os cursos de matemática.

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