Matemática

A matemática (do Grego mathema: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathematikos: apreciador do conhecimento) é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente tem sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários sub-campos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns. Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas - simplesmente por que eles acham que as estruturas investigadas belas em si mesmas.

Historicamente, as principais diciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuar cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Estas três necessidades podem ser a grosso modo relacionadas à grande subdivisão da matemática no estudo das estruturas, dos espaços e das suas alterações.

O estudo de estruturas começa com os números naturais e números inteiros. As regras que governam as operações aritmética são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros é estudada na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos - estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertence aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O estudo do espaço originou primeiro a Geometria euclidiana e trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais importantes na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolver várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria de grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição de da variação de valor de uma grandesa é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teoria da computabilidade, teoria da complexidade computacional, teoria da informação e a teoria da informação algorítmica, as quais investigadas na ciência da computação.

Os computadores também contribuiram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot.

Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite que a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numéricamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

Segue uma lista dos tópicos matemáticos.

Quantidades

Números -- Números naturais -- Inteiros -- Números Racionais -- Números Reais -- Números Complexos -- Números Hipercomplexos -- Quaternions -- Octonions -- Sedenions -- Números Hiperreais -- Números Surreais -- Números Ordinais -- Números Cardinais -- Números p-adic -- Seqüências de Inteiros -- Constantes Matemáticas -- Nomenclatura dos Números -- Infinito

Transformações

Aritmética -- Cálculo -- Cálculo Vetorial -- Análise -- Equações Diferenciais -- Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos -- Cálculo Fracional -- Lista de Funções

Estrutura

Álgegra Abstrata -- Teoria dos Números -- Geometria Algébrica -- Teoria dos Grupos -- Monóides -- Análises -- Topologia -- Álgebra Linear -- Teoria de Grafos -- Álgebra Universal -- Teoria das Categorias

Espaço

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria Algébrica -- Geometria Diferencial -- Topologia Diferencial -- Topologia Algébrica -- Álgebra Linear

Matemática Discreta

Combinatória -- Teoria Básica de Conjuntos -- Probabilidade -- Estatística -- Teoria da Computação -- Matemática Discreta -- Criptografia -- Teoria dos Grafos -- Teoria dos Jogos

Matemática Aplicada

Análise Numérica -- Otimização -- Probabilidade -- Estatística

Teoremas e Conjecturas Famosos

Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do Continuum -- Conjetura de Goldbach -- Conjetura dos Primos Gêmeos -- Teoremas da Incompletude de Godel -- Conjetura de Poincaré -- Argumento da Diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema do Limite Central -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álgebra -- Teorema das quatro cores -- Lema de Zorn -- Fórmulas Notáveis

Fundações e Métodos

Filosofia da Matemática -- Intuição Matemática -- Construtivismo Matemático -- Fundamentos da Matemática -- Teoria dos Conjuntos -- Lógica Simbólica -- Teoria dos Modelos -- Teoria das Categorias -- Demonstração de Teoremas -- Símbolos Matemáticos

Fatos da Matemática

História da Matemática -- Linha do Tempo da Matemática -- Matemáticos

Premiações

Prêmio Abel -- Prêmio Problemas do Milênio (Clay Math Prize) -- União Internacional Matemática -- Competições Matemáticas

• Matemática é a ciência que tem por objecto de estudo as relações entre os números, as formas, as grandezas e as operações entre estes elementos;

• Matemáticas: conjunto de ciências em que intervêm as teorias dos números.

• Matemáticas aplicadas: as que consideram as grandezas em determinados corpos ou assuntos;

• Matemáticas Mistas: as que consideram as propriedades da grandeza em certos corpos ou fenómenos particulares, como a Astronomia e a Mecânica;

• Matemáticas Puras: as que estudam as propriedades da grandeza em abstracto como a Geometria e a Álgebra.

Biografias

• Kurt Gödel
• Paul Erdos
• Outros Matemáticos

Teorias

• Teorema da incompletude de Godel
• Teoria dos Jogos