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[[Imagem:EigenvectorsRotation.svg|thumb|Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano '''R'''³. Subespaços são estudados em álgebra linear.]]
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'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].
'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].


==História==
==História==
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.


O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.
O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da [[matemática pura]].


==Sistemas de equações lineares==
==Sistemas de equações lineares==
{{AP|[[Sistema de equações lineares]]}}
{{AP|[[Sistema de equações lineares]]}}


Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um [[conjunto finito]] de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:
 
a na seguinte forma padrão.
 
a<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+ a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+ ... + a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>= b
 
Dizemos que a constante a<sub>k</sub> é o coeficiente de x<sub>k</sub> e b é o termo constante da equação.<ref>{{citar livro|título=O essencial da álgebra linear|ultimo=Silva|primeiro=Wahl|editora=Editora S.L.W|ano=2020|local=Brasil|página=28|páginas=30}}</ref> 


==Geometria analítica==
==Geometria analítica==
{{AP|[[Geometria analítica]]}}
{{AP|[[Geometria analítica]]}}


A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.


==Espaços vetoriais==
==Espaços vetoriais==
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*[[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
*[[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
*[[Teorema Espectral]]
*[[Teorema Espectral]]
*[[Teorema dos Valores Singulares]]
*[[Decomposição em valores singulares|Teorema dos Valores Singulares]]
*[[Teorema de Cayley-Hamilton]]
*[[Teorema de Cayley-Hamilton]]
*Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref>
*Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref>
*Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
*Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
*Uma [[matriz quadrada]] é inversível se e somente se seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>
*Uma [[matriz quadrada]] é inversível [[se e somente se]] seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>{{Citar web |url=http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |titulo=Cópia arquivada |acessodata=2010-02-10 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20100130032846/http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |arquivodata=2010-01-30 |urlmorta=sim }}</ref>  
http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php</ref>  
*A [[Matriz (matemática)|matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].
*A [[matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].


==Aplicações==
==Aplicações==
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==Ver também==
==Ver também==
{{Wikilivros|Álgebra linear}}
{{Wikilivros|Álgebra linear}}
*[[Álgebra não linear]]
*[[Regra de Cramer]]
*[[Regra de Cramer]]
*[[Subespaço vetorial]]
*[[Subespaço vetorial]]
*[[Vetor]]
*[[Vetor (matemática)|Vetor]]
*[[Equação linear]]
*[[Equação linear]]


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{{Álgebra linear}}
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{{Áreas da matemática}}
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[[Categoria:Álgebra linear|!]]
[[Categoria:Álgebra linear|!]]

Edição atual tal como às 04h46min de 13 de agosto de 2022

Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Ver artigo principal: Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x1,x2,...,xn é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:

a na seguinte forma padrão.

a1x1+ a2x2+ ... + anxn= b

Dizemos que a constante ak é o coeficiente de xk e b é o termo constante da equação.[1]

Geometria analítica

Ver artigo principal: Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Ver artigo principal: Espaço vetorial

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Ver artigo principal: Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais

Aplicações

Referências

  1. ↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas 
  2. ↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
  3. ↑ Dimension theorem for vector spaces
  4. ↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010 

Ver também

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Álgebra linear

Livros online

Ligações externas


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