Regra de Cramer

Regra de Cramer para os inteiros

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).^[1]^[2]

Se $A{\vec {x}}={\vec {b}}$ é um sistema de $n$ equações e $n$ incógnitas. (Onde $A$ é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, ${\vec {x}}$ é o vetor coluna das incógnitas e ${\vec {b}}$ é o vetor coluna dos termos independentes)

Então $\forall j,1\leq j\leq n$ , a solução do sistema $x_{j}$ é dada por:

x_{j}={\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}={det(A_{j}) \over det(A)}

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Demonstração

Sejam os vetores ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ e ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$ e a matriz $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$ .

Seja ainda a matriz $A_{j}$ , obtida pela substituição da coluna $j$ pelo vetor ${\vec {b}}$ , tal que

A_{j}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\ddots &&&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\vdots &&&&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&&&\ddots &a_{n-1n}\\a_{n1}&\cdots &a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}

.

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

$A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}$

então:

{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} A)}{\left|A\right|}}{\vec {b}}

Sejam:

A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}

(\operatorname {Adj} A)={\frac {A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}}=A_{lp}

Portanto:

A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}A_{ij}b_{i}}{\left|A\right|}}=_{\rm {(1)}}{\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}

(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz $A_{j}$

Exemplo

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:

Dado

3x+1y=9\,

2x+3y=13\,

que em forma matricial é:

{\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}9}\\{\color {red}13}\end{bmatrix}}

x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer

x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}9}&1\\{\color {red}13}&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9*3-1*13 \over 3*3-1*2}=2

y={\frac {\begin{vmatrix}3&{\color {red}9}\\2&{\color {red}13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3*13-9*2 \over 3*3-1*2}=3

Referências

↑ Cramer, Gabriel (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (em francês). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Consultado em 22 de julho de 2019
↑ Kosinski, A. A. (2001). «Cramer's Rule is due to Cramer». Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101

Bibliografia

Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C.F. (2003). Álgebra Linear e Aplicações. [S.l.]: Atual. 352 páginas. ISBN 8570562977
Boldrini; Costa e Fiqueiredo; Wetzler (1986). Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. 412 páginas. ISBN 9788529402024
Leon, Stevan J. (2011). Álgebra Linear e Suas Aplicações 8ª ed. [S.l.]: LTC. 504 páginas. ISBN 8521611560