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[[Imagem:EigenvectorsRotation.svg|thumb|Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano '''R'''³. Subespaços são estudados em álgebra linear.]] | [[Imagem:EigenvectorsRotation.svg|thumb|Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano '''R'''³. Subespaços são estudados em álgebra linear.]] | ||
'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear | '''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]]. | ||
==História== | ==História== | ||
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear. | Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear. | ||
O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura. | O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da [[matemática pura]]. | ||
==Sistemas de equações lineares== | ==Sistemas de equações lineares== | ||
{{AP|[[Sistema de equações lineares]]}} | {{AP|[[Sistema de equações lineares]]}} | ||
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. | Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um [[conjunto finito]] de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo: | ||
a na seguinte forma padrão. | |||
a<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+ a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+ ... + a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>= b | |||
Dizemos que a constante a<sub>k</sub> é o coeficiente de x<sub>k</sub> e b é o termo constante da equação.<ref>{{citar livro|título=O essencial da álgebra linear|ultimo=Silva|primeiro=Wahl|editora=Editora S.L.W|ano=2020|local=Brasil|página=28|páginas=30}}</ref> | |||
==Geometria analítica== | ==Geometria analítica== | ||
{{AP|[[Geometria analítica]]}} | {{AP|[[Geometria analítica]]}} | ||
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. | A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. | ||
==Espaços vetoriais== | ==Espaços vetoriais== | ||
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{{AP|[[Transformação linear]]}} | {{AP|[[Transformação linear]]}} | ||
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais. | Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais. | ||
==Teoremas fundamentais== | ==Teoremas fundamentais== | ||
*[[Teorema do Núcleo e da Imagem]] | *[[Teorema do Núcleo e da Imagem]] | ||
*[[Teorema Espectral]] | *[[Teorema Espectral]] | ||
*[[Teorema dos Valores Singulares]] | *[[Decomposição em valores singulares|Teorema dos Valores Singulares]] | ||
*[[Teorema de Cayley-Hamilton]] | *[[Teorema de Cayley-Hamilton]] | ||
*Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref> | *Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref> | ||
*Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref> | *Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref> | ||
*Uma [[matriz quadrada]] é inversível se e somente se seu determinante for diferente de [[zero]].<ref> | *Uma [[matriz quadrada]] é inversível [[se e somente se]] seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>{{Citar web |url=http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |titulo=Cópia arquivada |acessodata=2010-02-10 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20100130032846/http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |arquivodata=2010-01-30 |urlmorta=sim }}</ref> | ||
http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php</ref> | *A [[Matriz (matemática)|matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]]. | ||
*A [[matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]]. | |||
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==Ver também== | ==Ver também== | ||
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*[[Regra de Cramer]] | *[[Regra de Cramer]] | ||
*[[Subespaço vetorial]] | *[[Subespaço vetorial]] | ||
*[[Vetor]] | *[[Vetor (matemática)|Vetor]] | ||
*[[Equação linear]] | *[[Equação linear]] | ||
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* J. Santos, Reginaldo, ''[http://books.google.com.br/books?id=3i2cOt6lFQ0C&lpg=PR1&dq=%C3%A1lgebra%20linear&pg=PR1#v=onepage&q&f=false Introdução à Álgebra Linear]'' | *J. Santos, Reginaldo, ''[http://books.google.com.br/books?id=3i2cOt6lFQ0C&lpg=PR1&dq=%C3%A1lgebra%20linear&pg=PR1#v=onepage&q&f=false Introdução à Álgebra Linear]'' | ||
* [http://cnx.org/content/m12862/latest/ Álgebra Lineal: Conceptos Básicos] | *[http://cnx.org/content/m12862/latest/ Álgebra Lineal: Conceptos Básicos] | ||
* [http://www.abaco.com.ve/lineal/InterfaseAlgebraContexto.htm Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto] | *[http://www.abaco.com.ve/lineal/InterfaseAlgebraContexto.htm Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto] | ||
* Beezer, Rob, ''[http://linear.ups.edu/index.html A First Course in Linear Algebra]'' | *Beezer, Rob, ''[http://linear.ups.edu/index.html A First Course in Linear Algebra]'' | ||
* Connell, Edwin H., ''[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra]'' | *Zani, Sérgio L., "[http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf Álgebra Linear]" | ||
* Hefferon, Jim, ''[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra]'' | *Malajovich, Gregório, "[http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf Álgebra Linear]" | ||
* Matthews, Keith, ''[http://www.numbertheory.org/book/ Elementary Linear Algebra]'' | *Pellegrini, Jerônimo C., "[http://aleph0.info/cursos/al/notas/al.pdf Álgebra Linear]" | ||
* Sharipov, Ruslan, ''[http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 Course of linear algebra and multidimensional geometry]'' | *Treil, Sergei, "[http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong]" | ||
*Connell, Edwin H., ''[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra]'' | |||
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Edição atual tal como às 04h46min de 13 de agosto de 2022
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Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.
História
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.
Sistemas de equações lineares
Ver artigo principal: Sistema de equações linearesUm sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x1,x2,...,xn é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:
a na seguinte forma padrão.
a1x1+ a2x2+ ... + anxn= b
Dizemos que a constante ak é o coeficiente de xk e b é o termo constante da equação.[1]
Geometria analítica
Ver artigo principal: Geometria analíticaA geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
Espaços vetoriais
Ver artigo principal: Espaço vetorialEspaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.
Transformação linear
Ver artigo principal: Transformação linearEm Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Teoremas fundamentais
- Teorema do Núcleo e da Imagem
- Teorema Espectral
- Teorema dos Valores Singulares
- Teorema de Cayley-Hamilton
- Todo espaço vetorial possui uma base.[2]
- Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.[3]
- Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.[4]
- A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.
Aplicações
Referências
- ↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas
- ↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
- ↑ Dimension theorem for vector spaces
- ↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010
Ver também
Livros online
- J. Santos, Reginaldo, Introdução à Álgebra Linear
- Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
- Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto
- Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
- Zani, Sérgio L., "Álgebra Linear"
- Malajovich, Gregório, "Álgebra Linear"
- Pellegrini, Jerônimo C., "Álgebra Linear"
- Treil, Sergei, "Linear Algebra Done Wrong"
- Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
- Hefferon, Jim, Linear Algebra
- Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
- Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
Ligações externas
Predefinição:Álgebra
Predefinição:Álgebra linear
Predefinição:Áreas da matemática
Predefinição:Authority control
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