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Álgebra linear: mudanças entre as edições

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'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].
{{Mais notas|data=junho de 2021}}
[[Imagem:EigenvectorsRotation.svg|thumb|Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano '''R'''³. Subespaços são estudados em álgebra linear.]]


== História ==
'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Gauss]] no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.


O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.
==História==
== Sistemas de equações lineares ==
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
 
O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da [[matemática pura]].
 
==Sistemas de equações lineares==
{{AP|[[Sistema de equações lineares]]}}
{{AP|[[Sistema de equações lineares]]}}


Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um [[conjunto finito]] de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:
 
a na seguinte forma padrão.
 
a<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+ a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+ ... + a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>= b


== Geometria analítica ==
Dizemos que a constante a<sub>k</sub> é o coeficiente de x<sub>k</sub> e b é o termo constante da equação.<ref>{{citar livro|título=O essencial da álgebra linear|ultimo=Silva|primeiro=Wahl|editora=Editora S.L.W|ano=2020|local=Brasil|página=28|páginas=30}}</ref> 
 
==Geometria analítica==
{{AP|[[Geometria analítica]]}}
{{AP|[[Geometria analítica]]}}


A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.


== Espaços vetoriais ==
==Espaços vetoriais==
{{AP|[[Espaço vetorial]]}}
{{AP|[[Espaço vetorial]]}}
Espaços vetoriais são um tema central na [[matemática]] moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em [[álgebra abstrata]] e [[análise funcional]]. A álgebra linear também tem sua representação concreta em [[geometria analítica]].
Espaços vetoriais são um tema central na [[matemática]] moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em [[álgebra abstrata]] e [[análise funcional]]. A álgebra linear também tem sua representação concreta em [[geometria analítica]].


== Transformação linear ==
==Transformação linear==
{{AP|[[Transformação linear]]}}
{{AP|[[Transformação linear]]}}


Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
 
== Teoremas fundamentais ==
* [[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
* [[Teorema Espectral]]
* [[Teorema dos Valores Singulares]]
* [[Teorema de Cayley-Hamilton]]
* Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice]].</ref>
* Quaisquer duas bases do espaço vetorial mesmo ter a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
* Uma [[matriz quadrada]] é inversível se e somente se seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>
http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php</ref>
* A [[matriz]] é [[inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].


== Aplicações ==
==Teoremas fundamentais==
Não obstante o fato de a Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática.
*[[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
*[[Teorema Espectral]]
*[[Decomposição em valores singulares|Teorema dos Valores Singulares]]
*[[Teorema de Cayley-Hamilton]]
*Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref>
*Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
*Uma [[matriz quadrada]] é inversível [[se e somente se]] seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>{{Citar web |url=http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |titulo=Cópia arquivada |acessodata=2010-02-10 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20100130032846/http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |arquivodata=2010-01-30 |urlmorta=sim }}</ref>
*A [[Matriz (matemática)|matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].


* [[programação linear]]
==Aplicações==
* [[processamento de imagens]]
*[[Programação linear]]
* [[física matemática]]
*[[Processamento de imagens]]
* [[estatística]]
*[[Física matemática]]
*[[Estatística]]


{{Referências}}
{{Referências}}


== {{Ver também}} ==
==Ver também==
{{Wikilivros|Álgebra linear}}
{{Wikilivros|Álgebra linear}}
 
*[[Álgebra não linear]]
 
*[[Regra de Cramer]]
 
*[[Subespaço vetorial]]
*[[Vetor (matemática)|Vetor]]
*[[Equação linear]]


===Livros online===
===Livros online===
{{dividir em colunas}}
*J. Santos, Reginaldo, ''[http://books.google.com.br/books?id=3i2cOt6lFQ0C&lpg=PR1&dq=%C3%A1lgebra%20linear&pg=PR1#v=onepage&q&f=false Introdução à Álgebra Linear]''
*[http://cnx.org/content/m12862/latest/ Álgebra Lineal: Conceptos Básicos]
*[http://www.abaco.com.ve/lineal/InterfaseAlgebraContexto.htm Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto]
*Beezer, Rob, ''[http://linear.ups.edu/index.html A First Course in Linear Algebra]''
*Zani, Sérgio L., "[http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf Álgebra Linear]"
*Malajovich, Gregório, "[http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf Álgebra Linear]"
*Pellegrini, Jerônimo C., "[http://aleph0.info/cursos/al/notas/al.pdf Álgebra Linear]"
*Treil, Sergei, "[http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong]"
*Connell, Edwin H., ''[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra]''
*Hefferon, Jim, ''[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra]''
*Matthews, Keith, ''[http://www.numbertheory.org/book/ Elementary Linear Algebra]''
*Sharipov, Ruslan, ''[http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 Course of linear algebra and multidimensional geometry]''
{{dividir em colunas fim}}


*J. Santos, Reginaldo, ''[http://books.google.com.br/books?id=3i2cOt6lFQ0C&lpg=PR1&dq=%C3%A1lgebra%20linear&pg=PR1#v=onepage&q&f=false Introdução à Álgebra Linear]''
==Ligações externas==
*[http://www.algebrasolver.totalh.com Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer]


== {{Ligações externas}} ==
* [http://www.algebrasolver.totalh.com Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer]


{{Álgebra}}
{{Álgebra linear}}
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[[Categoria:Álgebra linear|!]]
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[[af:Lineêre algebra]]
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[[bs:Linearna algebra]]
[[ca:Àlgebra lineal]]
[[cs:Lineární algebra]]
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[[de:Lineare Algebra]]
[[el:Γραμμική άλγεβρα]]
[[en:Linear algebra]]
[[eo:Lineara algebro]]
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[[eu:Aljebra lineal]]
[[fa:جبر خطی]]
[[fi:Lineaarialgebra]]
[[fr:Algèbre linéaire]]
[[gan:線性代數]]
[[gl:Álxebra lineal]]
[[he:אלגברה לינארית]]
[[hr:Linearna algebra]]
[[hu:Lineáris algebra]]
[[id:Aljabar linear]]
[[is:Línuleg algebra]]
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[[no:Lineær algebra]]
[[pl:Algebra liniowa]]
[[pms:Àlgebra linear]]
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[[sh:Linearna algebra]]
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[[sk:Lineárna algebra]]
[[sl:Linearna algebra]]
[[sq:Algjebra lineare]]
[[sr:Линеарна алгебра]]
[[sv:Linjär algebra]]
[[ta:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
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[[tr:Doğrusal cebir]]
[[uk:Лінійна алгебра]]
[[ur:لکیری الجبرا]]
[[vi:Đại số tuyến tính]]
[[yi:ליניארע אלגעברע]]
[[yo:Áljẹ́brà gbígbọrọ]]
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Edição atual tal como às 04h46min de 13 de agosto de 2022

Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Ver artigo principal: Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x1,x2,...,xn é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:

a na seguinte forma padrão.

a1x1+ a2x2+ ... + anxn= b

Dizemos que a constante ak é o coeficiente de xk e b é o termo constante da equação.[1]

Geometria analítica

Ver artigo principal: Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Ver artigo principal: Espaço vetorial

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Ver artigo principal: Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais

Aplicações

Referências

  1. ↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas 
  2. ↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
  3. ↑ Dimension theorem for vector spaces
  4. ↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010 

Ver também

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Álgebra linear

Livros online

Ligações externas


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