Álgebra linear: mudanças entre as edições

Edição atual tal como às 04h46min de 13 de agosto de 2022

Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x₁,x₂,...,x_n é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:

a na seguinte forma padrão.

a₁x₁+ a₂x₂+ ... + a_nx_n= b

Dizemos que a constante a_k é o coeficiente de x_k e b é o termo constante da equação.^[1]

Geometria analítica

A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais

Teorema do Núcleo e da Imagem
Teorema Espectral
Teorema dos Valores Singulares
Teorema de Cayley-Hamilton
Todo espaço vetorial possui uma base.^[2]
Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.^[3]
Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.^[4]
A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.

Aplicações

Referências

↑ Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas
↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
↑ Dimension theorem for vector spaces
↑ «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010

Ver também

O Wikilivros tem um livro chamado Álgebra linear

Livros online

J. Santos, Reginaldo, Introdução à Álgebra Linear
Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto
Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
Zani, Sérgio L., "Álgebra Linear"
Malajovich, Gregório, "Álgebra Linear"
Pellegrini, Jerônimo C., "Álgebra Linear"
Treil, Sergei, "Linear Algebra Done Wrong"
Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
Hefferon, Jim, Linear Algebra
Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry

Ligações externas

Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer

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[1] Silva, Wahl (2020). O essencial da álgebra linear. Brasil: Editora S.L.W. p. 28. 30 páginas

[2] The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.

[3] Dimension theorem for vector spaces

[4] «Cópia arquivada». Consultado em 10 de fevereiro de 2010. Arquivado do original em 30 de janeiro de 2010

[1]

[2]

[3]

[4]

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-'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].
+{{Mais notas|data=junho de 2021}}
+[[Imagem:EigenvectorsRotation.svg|thumb|Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano '''R'''³. Subespaços são estudados em álgebra linear.]]
-== História ==
+'''Álgebra linear''' é um ramo da [[matemática]] que surgiu do estudo detalhado de sistemas de [[Equação linear|equações lineares]], sejam elas [[equação algébrica|algébricas]] ou [[equação diferencial|diferenciais]]. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como [[Vector (espacial)|vetores]], [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], [[transformação linear|transformações lineares]], [[sistema de equações lineares|sistemas de equações lineares]] e [[matriz (matemática)|matrizes]].
-Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Gauss]] no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
-O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.
+==História==
-== Sistemas de equações lineares ==
+Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a [[eliminação gaussiana]], citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O [[método dos mínimos quadrados]], usado pela primeira vez por [[Carl Friedrich Gauss]] no final do [[século XVIII]], é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
+O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da [[álgebra abstrata]]. [[matriz (matemática)|Matrizes]] e [[tensor]]es foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na [[relatividade geral]], [[estatística]] e [[mecânica quântica]] fez muito para espalhar o assunto para além da [[matemática pura]].
+==Sistemas de equações lineares==
 {{AP|[[Sistema de equações lineares]]}}
-Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.
+Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um [[conjunto finito]] de equações lineares nas mesmas variáveis. Uma equação linear nas incógnitas x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub> é uma equação que pode se colocada na forma de equação abaixo:
-== Geometria analítica ==
+a na seguinte forma padrão.
+a<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+ a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+ ... + a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>= b
+Dizemos que a constante a<sub>k</sub> é o coeficiente de x<sub>k</sub> e b é o termo constante da equação.<ref>{{citar livro|título=O essencial da álgebra linear|ultimo=Silva|primeiro=Wahl|editora=Editora S.L.W|ano=2020|local=Brasil|página=28|páginas=30}}</ref>
+==Geometria analítica==
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-A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
+A geometria analítica, também pode ser chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de [[coordenadas cartesianas]] para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês [[René Descartes]] (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
-== Espaços vetoriais ==
+==Espaços vetoriais==
 {{AP|[[Espaço vetorial]]}}
 Espaços vetoriais são um tema central na [[matemática]] moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em [[álgebra abstrata]] e [[análise funcional]]. A álgebra linear também tem sua representação concreta em [[geometria analítica]].
-== Transformação linear ==
+==Transformação linear==
 {{AP|[[Transformação linear]]}}
-Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
+Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
-== Teoremas fundamentais ==
+==Teoremas fundamentais==
-* [[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
+*[[Teorema do Núcleo e da Imagem]]
-* [[Teorema Espectral]]
+*[[Teorema Espectral]]
-* [[Teorema dos Valores Singulares]]
+*[[Decomposição em valores singulares|Teorema dos Valores Singulares]]
-* [[Teorema de Cayley-Hamilton]]
+*[[Teorema de Cayley-Hamilton]]
-* Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a
+*Todo espaço vetorial possui uma [[Base (álgebra linear)|base]].<ref>The existence of a basis is straightforward for [[:en:finitely generated module|finitely generated]] vector spaces, but in [[:en:dimension theorem for vector spaces|full generality]] it is [[:en:Logical equivalence|logically equivalent]] to the [[:en:axiom of choice|axiom of choice]].</ref>
-basis is straightforward for [[finitely generated module|finitely
+*Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[:en:Dimension theorem for vector spaces|Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
-generated]] vector spaces, but in [[dimension theorem for vector
+*Uma [[matriz quadrada]] é inversível [[se e somente se]] seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>{{Citar web |url=http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |titulo=Cópia arquivada |acessodata=2010-02-10 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20100130032846/http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php |arquivodata=2010-01-30 |urlmorta=sim }}</ref>
-spaces|full generality]] it is [[Logical equivalence|logically
+*A [[Matriz (matemática)|matriz]] é [[matriz inversa|inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].
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-* Quaisquer duas bases do espaço vetorial mesmo ter a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.<ref>[[Dimension theorem for vector spaces]]</ref>
-* Uma [[matriz quadrada]] é inversível se e somente se seu determinante for diferente de [[zero]].<ref>
-http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php</ref>
-* A [[matriz]] é [[inversível]] se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um [[isomorfismo]].
-== Aplicações ==
+==Aplicações==
-Não obstante o fato de a Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática.
+*[[Programação linear]]
+*[[Processamento de imagens]]
-* [[programação linear]]
+*[[Física matemática]]
-* [[processamento de imagens]]
+*[[Estatística]]
-* [[física matemática]]
-* [[estatística]]
 {{Referências}}
-== {{Ver também}} ==
+==Ver também==
 {{Wikilivros|Álgebra linear}}
+*[[Álgebra não linear]]
+*[[Regra de Cramer]]
+*[[Subespaço vetorial]]
+*[[Vetor (matemática)|Vetor]]
+*[[Equação linear]]
+===Livros online===
+{{dividir em colunas}}
+*J. Santos, Reginaldo, ''[http://books.google.com.br/books?id=3i2cOt6lFQ0C&lpg=PR1&dq=%C3%A1lgebra%20linear&pg=PR1#v=onepage&q&f=false Introdução à Álgebra Linear]''
+*[http://cnx.org/content/m12862/latest/ Álgebra Lineal: Conceptos Básicos]
+*[http://www.abaco.com.ve/lineal/InterfaseAlgebraContexto.htm Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto]
+*Beezer, Rob, ''[http://linear.ups.edu/index.html A First Course in Linear Algebra]''
+*Zani, Sérgio L., "[http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf Álgebra Linear]"
+*Malajovich, Gregório, "[http://www.labma.ufrj.br/~gregorio/livro/al2.pdf Álgebra Linear]"
+*Pellegrini, Jerônimo C., "[http://aleph0.info/cursos/al/notas/al.pdf Álgebra Linear]"
+*Treil, Sergei, "[http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong]"
+*Connell, Edwin H., ''[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra]''
+*Hefferon, Jim, ''[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra]''
+*Matthews, Keith, ''[http://www.numbertheory.org/book/ Elementary Linear Algebra]''
+*Sharipov, Ruslan, ''[http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 Course of linear algebra and multidimensional geometry]''
+{{dividir em colunas fim}}
+==Ligações externas==
+*[http://www.algebrasolver.totalh.com Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer]
-== {{Ligações externas}} ==
-* [http://www.algebrasolver.totalh.com Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer]
+{{Álgebra}}
+{{Álgebra linear}}
+{{Áreas da matemática}}
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Índice

História

Sistemas de equações lineares

Geometria analítica

Espaços vetoriais

Transformação linear

Teoremas fundamentais

Aplicações

Referências

Ver também

Livros online

Ligações externas

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