Universo de Herbrand

Predefinição:Sem notas

Na lógica matemática, dada uma linguagem formal com um conjunto de símbolos (símbolos de constantes e símbolos funcionais), o universo de Herbrand define recursivamente o conjunto de todos os termos que podem ser compostos aplicando uma composição funcional a partir de símbolos básicos.

Foi assim denominada em homenagem a Jacques Herbrand.

Dada uma linguagem de primeira ordem L, seu universo de Herbrand é definido pelo conjunto de todas as cláusulas básicas que podem ser construídas a partir dos símbolos de L. Levando em conta a definição de termo básico, podemos observar que os símbolos que aparecem em um universo de Herbrand são funtores e constantes de L.

Considere uma fórmula da lógica de primeira ordem $\Phi$ na forma skolemizada

          $\forall x_{1}...\forall x_{n}S$

Então o universo de Herbrand $H$ de $S$ é definido pelas seguintes regras.

1. Todas as constantes de $S$ pertencem a $H$ . Se não existem constantes em $S$ , então $H$ contém uma constante arbitrária $c$ .

2. Se $t_{1}\in H,...,t_{n}\in H$ , e uma função $n$ -ária $f$ ocorre em $S$ , então $f(t_{1},...,t_{n})\in H$ .

As cláusulas (disjunções de literais) obtidas daquelas de $S$ substituindo todas as variáveis por elementos do universo de Herbrand são chamadas cláusulas básicas, com definições similares para literais básicos e átomos básicos. O conjunto de todos os átomos básicos que pode ser formados a partir de símbolos predicados de $S$ e termos de $H$ é chamado de Base de Herbrand.

A geração consecutiva de elementos do universo de Herbrand e a verificação de insatisfatibilidade de elementos gerados podem ser diretamente implementadas em um programa de computador. Tendo em vista a completude da lógica de primeira ordem, esse programa é basicamente uma ferramenta para a demonstração automática de teoremas. Evidentemente, essa busca exaustiva é muito lenta para aplicações práticas.

Esse programa irá terminar a execução para todas as fórmulas insatisfatíveis e não terminará para fórmulas satisfatíveis, que basicamente mostra que o conjunto das fórmulas insatisfatíveis é recursivamente enumerável. Dado que a demonstrabilidade (ou, equivalentemente, a insatisfatibilidade) na lógica de primeira-ordem é recursivamente indecidível, esse conjunto não é recursivo.

Exemplo

1. Seja $S={\neg p(X,Y)\lor q(X,f(X)),\neg p(X,Y)\lor q(X,g(Y))}$

Desde que não existe constante em $S$ , seja então $H_{0}={a}$ . Assim

 $H_{1}=H_{0}\cup \{f(a),g(a)\}$ 
 $H_{2}=H_{1}\cup \{f(f(a)),f(g(a)),g(f(a)),g(g(a))\}$ 
 $H_{3}=H_{2}\cup \{f(f(f(a))),f(f(g(a))),f(g(f(a))),f(g(g(a))),g(f(f(a))),g(f(g(a))),$ 
             $g(g(f(a))),g(g(g(a)))\}$ 
 $......$ 
 $H_{\infty }=\{a,f(a),g(a),f(f(a)),f(g(a)),g(f(a)),g(g(a)),f(f(f(a))),f(f(g(a))),f(g(f(a))),$ 
         $f(g(g(a))),g(f(f(a))),g(f(g(a))),g(g(f(a))),g(g(g(a))),...\}$