Grupo de Lie

Predefinição:Grupos de LieUm grupo de Lie (e/ou "Conjunto de Lie"), que é simbolizado matematicamente pelo "L e/ou S"(de Sterling), é uma variedade diferenciável que admite uma estrutura de grupo onde as operações multiplicação e inversão são deriváveis. Este conceito foi introduzido em 1870 por Sophus Lie ao estudar certas propriedades das equações diferenciais, nesse conjunto figuram diversas funções de grau superior a unidade, hiperbólicas, senoides, e outras funções em diversos graus, que possibilitam ao cálculo da derivada. Inclusive com estudos das funções de grau inferior a unidade, que foram expostas nos seus trabalhos, intitulado na época de "Princípios e Processos para as Diferenciações". Tal livro(tese), foi editado em diversos idiomas a partir de 1870, em diversas edições. Inclusive atualizadas pelo autor a medida que aprofundava seus estudos.

Definição

Um Grupo de Lie é uma variedade $G$ suave que possui uma estrutura de Grupo, cuja as operações de multiplicação e inversão são ${\mathcal {C}}^{\infty }$, isto é

$\mu :G\times G\to G,\mu (a,b)=ab,$

e a aplicação inversão, dada por

$\iota :G\to G,\iota (a)=a^{-1}$

são ambas ${\mathcal {C}}^{\infty }$.

A suavidade da operação de multiplicação significa que $\mu$ é uma aplicação suave do produto de variedades $G\times G$, para $G$. De forma simplificada, podemos combinar as duas operações em um único mapa

$(a,b)\mapsto ab^{-1}$

${\mathcal {C}}^{\infty }$ entre $G\times G$ e $G$.

Exemplos

• $\mathbb {R} ^{n}$ - o espaço euclidiano real de dimensão n, visto como um grupo aditivo.
• $GL_{n}(\mathbb {R} )$ - o grupo linear real de ordem n, com a operação de multiplicação de matrizes.
• $\mathbb {H} ^{*}$ - o grupo multiplicativo dos quaterniões não nulos.
• Seja $n\geq 1$. O grupo $GL(n,k)$ (onde $k=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$) das matrizes invertíveis $n$ por $n$ é um grupo de Lie, visto que a operação multiplicação de matrizes é contínua, já que se $A$ e $B$ são matrizes, então as entradas de $AB$ são somas de produtos de entradas de $A$ e $B$.

É possível mostrar que todo subgrupo fechado de $GL(n,k)$ também é grupo de Lie. Disto segue que $U(n),SU(n),O(n)$ e $SO(n)$ são grupos de Lie para todo $n\geq 1$. Em geral, os subgrupos fechados de $GL(n,k)$ são chamados de grupos de Lie clássicos.

Mais exemplos de Grupos de Lie

• O grupo SO(2) definido como sendo o grupo das matrizes ortogonais com determinante igual a 1, é um Grupo de Lie difeomorfo ao círculo unitário $S^{1}$.
• O Grupo SU(2) formado pelas matrizes unitárias com determinante igual a 1 é um grupo de Lie difeomorfo a 3-esfera $S^{3}$.

Álgebra de Lie

Se $G$ for uma variedade diferenciável de dimensão finita, existe uma construção que torna o espaço tangente à identidade de $G$ uma álgebra, e esta é a chamada álgebra de Lie associada a $G$.

Em termos da teoria de categorias, o functor que associa a cada grupo de Lie a sua álgebra de Lie é uma transformação natural.

É possível mostrar que álgebra de Lie de um grupo de Lie $G$ é isomorfa à álgebra dos campos vetoriais sobre $G$ que são invariantes por translação.

É sabido que para cada $n\geq 1$, a álgebra de Lie associada ao grupo das matrizes $n$ por $n$ unitárias é a álgebra das matrizes $n$ por $n$ auto-adjuntas. Uma generalização deste fato para espaços de operadores limitados sobre espaços de Hilbert é de grande importância para a formulação matemática da Mecânica Quântica, e neste contexto, tal resultado é chamado de teorema de Stone.

Referências

• Tu, Loring W. (2010), An Introduction to Manifolds, (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.