Teoria algébrica dos números

Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados inteiros algébricos. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — teoria de Galois, cohomologia de grupos, teoria dos corpos de classes, representação de grupo e funções-L — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números.

Muitas questões em teoria de números são melhor atacadas estudando-as modulo p para todos os primos p (veja-se: corpos finitos). Isto é chamado localização e leva à construção dos números p-ádicos. Este campo de estudo é chamado análise local e emerge da teoria algébrica de números.