Corpo finito

Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.

Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.

Exemplos

• Todo anel $\mathbb {Z} _{p}\,$, para p primo, é um corpo, logo é um corpo finito.
• Existe um (único, significando que todos são isomorfos) corpo finito com 4 elementos. Seja K este corpo. É fácil ver que o grupo aditivo (K, +) não pode ser isomorfo a $(\mathbb {Z} _{4},+)\,$ (porque, qualquer que seja a operação de multiplicação $\otimes \,$, temos que $(1+1)\otimes (1+1)=1\otimes (1+1)+1\otimes (1+1)=1+1+1+1=0\,$, e um corpo não pode ter divisores de zero). Então temos que (K, +) deve ser isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4. Sem perda de generalidade, podemos definir K = { $0,1,\alpha ,\alpha +1$ }, e, como a equação $x^{2}=x$ só pode ter 2 raízes (0 e 1), e a equação $x^{2}=1\,$ tem 1 como raiz dupla, temos que $\alpha ^{2}=\alpha +1$. Com isso, completa-se a tabela multiplicativa do corpo de ordem 4. Note-se que $\alpha \,$ e $\alpha +1\,$ são as raízes do polinômio (irredutível em $\mathbb {Z} _{2}\,$) $x^{2}+x+1\,$.