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Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach[1] é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados.

O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927)[2]. Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929)[3] e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938)[4].

Resultados Preliminares

Conjunto parcialmente ordenado

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto no qual é definida uma ordem parcial, ou seja, uma relação binária representada por que satisfaz as seguintes condições:

  • para todo ;
  • Se e , então ;
  • Se e , então .

Lema de Zorn

O Lema de Zorn[1] é um axioma da Teoria dos Conjuntos, equivalente ao Axioma da Escolha. O lema pode ser apresentado como: se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.

Extensão

Seja um objeto matemático (por exemplo, uma transformação linear) definido em um subconjunto de um conjunto . Uma extensão[1] busca definir o objeto em todo o conjunto , preservando determinadas propriedades válidas no subconjunto .

No teorema de Hahn-Banach, o objeto a ser estendido é um funcional linear f definido em um subespaço de um espaço vetorial .

Funcional Sublinear

Um funcional sublinear[1] é uma função de valor real definida em um espaço vetorial X com as seguintes propriedades:

  • para todo ;
  • para todo , e para todo .

Enunciado do Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach[1] pode ser assim enunciado:

"Seja um espaço vetorial no campo dos número reais e um funcional sublinear em . Seja ainda um funcional linear definido em um subespaço de que satisfaça para todo . Então possui uma extensão linear de para , ou seja, satisfaz para todo e para todo ."

Demonstração

A demonstração pode ser encontrada em [1]. Em termos gerais, inicialmente demonstra-se que o conjunto de todas as extensões lineares de que satisfazem pode ser parcialmente ordenado. Então, pelo Lema de Zorn, existe um elemento maximal de . Em seguida, define-se em todo o espaço .

Outras Versões do Teorema

Espaços Vetoriais Complexos

O Teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais complexos pode ser enunciado da seguinte forma[1]:

"Seja um espaço vetorial no campo dos número reais ou dos números complexos e um funcional em de valor real que satisfaça as seguintes condições:

  • para todo ;
  • para todo escalar e para todo .

Seja ainda um funcional linear definido em um subespaço de que satisfaça para todo . Então possui uma extensão linear de para , ou seja, satisfaz para todo e para todo ."

A demonstração segue de maneira análoga à demonstração da versão real do teorema.

Espaços Normados

O Teorema de Hahn-Banach para espaços normados pode ser enunciado da seguinte forma[1]:

"Seja um funcional linear definido em um subespaço de um espaço normado . Então existe um funcional linear limitado em que é uma extensão de para e que possui a mesma norma, ou seja, ."

A demonstração pode ser realizada a partir da primeira versão do teorema com .

Versão Geométrica

A versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciada:

"Seja um espaço normado e um subconjunto convexo e fechado de . Dado , , existe um funcional linear limitado que satisfaz para todo ."

A demonstração segue a partir da definição de Funcional de Minkowski.

Consequências do Teorema de Hahn-Banach

Funcionais Lineares Limitados

A partir do Teorema de Hahn-Banach, obtém-se o seguinte resultado[1]:

"Seja um espaço normado e , . Então existe um funcional linear limitado em que satisfaz e ."

A demonstração pode ser feita a partir da versão do Teorema para Espaços Normados, considerando o subespaço de todos os elementos , no qual é um número escalar, e definindo em o funcional .

Norma de um vetor

Outro resultado obtido a partir do Teorema de Hahn-Banach é dado por[1]:

"Seja um espaço normado e um vetor de , então , para todo funcional linear de , ."

Teorema de Philips

O Teorema de Philips é pode ser considerado uma versão do Teorema de Hahn-Banach para transformações lineares:

"Seja um espaço normado e um subespaço de . Seja ainda uma transformação linear limitada definida em cuja imagem está no espaço . Então existe a extensão definida em , com imagem em , que satisfaz para todo e .

Referências

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Kreyszig, Erwin (1978). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. OCLC 2818701 
  2. Hahn, Hans. «Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen». Journal Reine Angew. Math.: 157, 214-229 
  3. Banach, Stefan. «Sur les fonctionnelles linéaires II». Studia Math.: 3, 133-181 
  4. H. F., Bohnenblust; Sobczyk, A. «Extensions of functionals on complex linear spaces». Bull. Amer. Math. Soc.: 44, 91-93 

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