Teorema de Egorov

Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Enunciado

Seja $\mu \,$ uma medida positiva, $E\,$ um conjunto mensurável de medida finita e $f_{n}:E\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função $f\,$ , então para todo $\delta >0\,$ existe um conjunto mensurável $F\subseteq E\,$ tal que $\mu (E\backslash F)\leq \delta \,$ e $f_{n}\to f\,$ uniformemente em $F\,$ .

Demonstração

Defina os subconjuntos $E_{k,n}\,$ de $E\,$ :

E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E:|f_{i}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{k}}\right\}

Como $\forall k\geq 1$ , $E_{k,1}\subseteq E_{k,2}\subseteq \ldots E_{k,n}\subseteq \ldots$ :

\mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (E_{k,n})

.

Ainda, como as funções $f_{n}\,$ convergem $\mu \,$ -quase-sempre para $f\,$ , temos que, para todo $k\geq 1\,$ :

\mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\mu (E)\,

.

Fixe $\delta >0\,$ . Dado que $\mu (E)<\infty \,$ , existe para cada $k\geq 1\,$ um inteiro $n_{k}\,$ positivo tal que

\mu (E_{k,n_{k}})\geq \mu (E)-2^{-k}\delta \,

.

Definindo:

F=\bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}

tem-se:

\mu (E\backslash F)=\mu \left(E\backslash \bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\delta 2^{-k}=\delta

Para mostrar que $f_{n}\,$ de fato converge uniformemente para $f\,$ em $F\,$ , escolha $\varepsilon >0\,$ , e $k\,$ inteiro positivo tal que ${\frac {1}{k}}<\varepsilon \,$ , escolha $n=n_{k}\,$ e o resultado segue pois $F\subseteq E_{k,n_{k}}\,$