Supremo e ínfimo

Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Definições

Seja $S\,$ , um subconjunto de um conjunto $P\,$ parcialmente ordenado pela relação $\leq \,$ .

Um elemento $M\in P\,$ é dito majorante, limite superior ou cota superior de $S\,$ se:

x\leq M,~~\forall x\in S

Um elemento $m\in P\,$ é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de $S\,$ se:

m\leq x,~~\forall x\in S

Um elemento $s\in P\,$ é dito supremo de $S\,$ se for o menor dos majorantes:

x\leq s,~~\forall x\in S

e

x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'

Um elemento $i\in P\,$ é dito ínfimo de $S\,$ se for o maior dos minorantes:

i\leq x,~~\forall x\in S

e

i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i

Um majorante $M\in P\,$ é dito máximo de $S\,$ se $M\in S\,$ .
Um minorante $m\in P\,$ é dito mínimo de $S\,$ se $m\in S\,$ .
Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação

Se um conjunto $S\,$ possui máximo, ele é denotado:

\max S=\max _{x\in S}x

Se um conjunto $S\,$ possui mínimo, ele é denotado:

\min S=\min _{x\in S}x

Se um conjunto $S\,$ possui supremo, ele é denotado:

\sup S=\sup _{x\in S}x

Se um conjunto $S\,$ possui ínfimo, ele é denotado:

\inf S=\inf _{x\in S}x

Se $f:S\to P\,$ é uma função de um conjunto $S\,$ em um conjunto parcialmente ordenado $P\,$ , então usa-se a notação:

\sup f(S)=\sup _{x\in S}f(x)

e suas análogas.

Completude

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos

O intervalo fechado $\left[0,1\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :\;0\leq x\leq 1\right\}\,$ possui um elemento mínimo $0$ e máximo $1$ .
O intervalo semi fechado $\left[0,1\right)=\left[0,1\right[=\left\{x\in \mathbb {R} :\;0\leq x<1\right\}\,$ possui um elemento mínimo $0$ , todo $x\geq 1,x\in \mathbb {R} ,$ é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o $1$ que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
$\left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\right\}$

Esse conjunto possui um supremo real,

{\sqrt {2}}\,

e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

${\mathcal {P}}\!\left(A\right)$ , para um conjunto qualquer $A$ considerando a ordem parcial ampla inclusão, $\subseteq$

Esse conjunto tem mínimo

\varnothing

e máximo

A

, segundo a ordem

\subseteq

.

Todo

B\subseteq {\mathcal {P}}\!\left(A\right),B\neq \varnothing

tem supremo e ínfimo em

{\mathcal {P}}\!\left(A\right)

, segundo a ordem

\subseteq

.

Propriedades

$\inf S\leq \sup S\,$ , contanto que ambos existam.

Propriedades de monotonicidade:

$A\subseteq B\Longrightarrow \sup A\leq \sup B\,$ , contanto que ambos existam.
$A\subseteq B\Longrightarrow \inf B\leq \inf A\,$ , contanto que ambos existam.

Propriedades algébricas:

Se $A$ e $B$ são conjuntos limitados e $A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}$ então

$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ e $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$ .

Se $A$ é um conjunto limitado e $k\in \mathbb {R}$ então

$\sup(kA)={\begin{cases}k\sup A,&{\text{if }}k\geq 0,\\k\inf A,&{\text{if }}k<0,\end{cases}}$ e $\inf(kA)={\begin{cases}k\inf A,&{\text{se }}k\geq 0,\\k\sup A,&{\text{se }}k<0,\end{cases}}$

onde $kA=\{kx:x\in A\}.$ (Ver Elon Lages Lima^[1]).

No conjunto de números reais

Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, $\mathbb {R} _{e}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ , podemos considerar:

O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como $+\infty \,$ .
O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como $-\infty \,$ .
Na notação de supremo, temos que uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ é limitada se e somente se:

\exists \sup _{x\in D}|f(x)|

, ou, considerando os reais estendidos,

\sup _{x\in D}|f(x)|<\infty