Sigma-álgebra de Lebesgue

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, a $\sigma -$álgebra de Lebesgue é uma família de conjuntos que recebem o nome de conjuntos mensuráveis à Lebesgue, ou ainda, conjuntos Lebesgue mensuráveis.

Esta família é formada por subconjuntos do $\mathbb {R} ^{n}\,$, forma uma sigma-álgebra e é denotada normalmente por ${\mathfrak {L}}^{n}\,$.

A $\sigma -$álgebra de Lebesgue contém todos os conjuntos abertos e fechados e portanto todos os conjuntos da álgebra de Borel.

Definição

Um subconjunto $E\,$ de $\mathbb {R} ^{n}\,$ pertence a ${\mathfrak {L}}^{n}\,$ se e somente se tiver a seguinte propriedade:

$\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap E)+\mu ^{*}(S\cap E^{c})\,\forall S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

onde $\mu ^{*}\,$ é a medida exterior de Lebesgue.

Definição equivalente

Um subconjunto $E\,$ de $\mathbb {R} ^{n}\,$ pertence a ${\mathfrak {L}}^{n}\,$ se e somente se estiver entre dois borelianos cuja diferença tem medida zero:

$A\subseteq E\subseteq B\,~~~\mu (B\backslash A)=0\,$

Pode-se mostrar que é possível supor $A\in {\mathfrak {F}}_{\sigma }\,$ e $B\in {\mathfrak {G}}_{\delta }\,$.