Conjunto de medida zero

Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se $(X,{\mathfrak {M}},\nu )$ é um espaço de medida, um conjunto $E\in {\mathfrak {M}}$ é dito ter medida zero se:

$$\nu (E)=0\,$$

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta

Seja $Z$ um conjunto qualquer na reta. Dizemos que $\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ é uma cobertura de bolas abertas para $Z$ se satisfizer as hipóteses:

• $Z\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$
• $B_{n}=(a_{n},b_{n})\,$ são bolas abertas com centro em ${\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$ e raio ${\frac {b_{n}-a_{n}}{2}}$

O comprimento da cobertura $\{B_{n}\}$ é definido como:

$$\sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})$$

Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto $Z$ é dito ter medida zero se para todo $\varepsilon >0$, existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a $\varepsilon$.

Exemplo

O conjunto dos números inteiros, $\mathbb {Z}$ tem medida zero.

Sabe-se que $\mathbb {Z}$ é enumerável, portanto pode ser escrito como:

$$\mathbb {Z} =\{x_{j}\}_{j=1}^{\infty }$$

Fixe um $\varepsilon >0$ arbitrário e considere as bolas:

$$B_{n}=(x_{j}-\varepsilon 2^{-n-1},x_{j}+\varepsilon 2^{-n-1})$$

$$l(B_{n})=2\varepsilon \cdot 2^{-n-1}=\varepsilon \cdot 2^{-n}$$

E o comprimento da cobertura $\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ é:

$$\sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}=\varepsilon$$

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades

• Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
• É fácil ver que se $A\subseteq B\,$ e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
• O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também

• Conjunto de Cantor, um exemplo de conjunto não-enumerável na reta com medida zero.
• Medida
• Medida de Lebesgue
• Medida exterior de Lebesgue
• Sigma-álgebra