Prova inválida

Em matemática, uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova.

A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada. Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2). Ou prova-se que 1 = -1 escrevendo-se $(1)^{2}=(-1)^{2}$ e cancelando o expoente.

Não deve ser confundido com o paradoxo, que, em sua maioria, são resultados válidos mas que vão contra a intuição.

Teorema de Muhammad Said al Khamutraa Prova-se que 1+1= 2 supondo que a bisseção divide em dois trechos iguais de (a+a)/2= a Ou seja a+a= 2a 1+1= 2 é caso particular. Como não há meios de traçar o um e o dois sem a bisseção, a prova de Russell e o teorema da incompletude de Gödel são inválidas. (Q.E.D.)

Exemplos

Prova que -2 = 1

Vamos começar com uma equação bem simples.

• Resolva a equação ${\sqrt[{3}]{1-x}}+{\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,$
• Elevando ao cubo:

$(1-x)+3{\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}\ ({\sqrt[{3}]{1-x}}+{\sqrt[{3}]{x-3}})+(x-3)=1\,$

• Substituindo a expressão entre parêntesis pelo valor da equação inicial:

$-2+3{\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,$

${\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,$

• Elevando ao cubo essa nova relação:

$(1-x)(x-3)=1\,$

$-x^{2}+4x-3=1\,$

$x^{2}-4x+4=0\,$

• A solução desta equação é x = 2. Substituindo na equação original, chegamos a:

${\sqrt[{3}]{1-2}}+{\sqrt[{3}]{2-3}}=1\,$

• Logo:

$(-1)+(-1)=1\,$

Q.E.D.

Prova que x = y para todo x, y

• Sejam x e y dois números quaisquer
• Então vamos definir $a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$
• Vamos definir também $u=a\ ,\ v=b-c\,$
• Vamos calcular agora duas expressões em u e v:

$(u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}$

$(u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}$

• Substituindo os valores $u=a\ ,\ v=b-c$, chegamos a:

$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

$(a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

• Vamos agora calcular o valor de $3a^{2}+b-c\,$
• Substituindo $a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$:

$3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,$

• Logo:

$(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\,$

$a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}\,$

${\sqrt {b-c}}=0\,$

$b-c=0\,$

$b=c\,$

• Substituindo $b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$:

$(x+y)^{2}=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$

$x^{2}+2xy+y^{2}=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$

$-3x^{2}+6xy-3y^{2}=0\,$

$(x-y)^{2}=0\,$

$x-y=0\,$

$x=y\,$

Q.E.D.