Prova direta

Na matemática e lógica, uma prova direta é uma forma de mostrar que certa afirmação é falsa ou verdadeira através de uma combinação de axiomas, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro.

Exemplo

Este exemplo ilustra a diferença entre um prova direta e uma prova por contradição, dita indireta. Considere o teorema da desigualdade das médias: Se p e q são números reais não-negativos então:

${\sqrt {pq}}\leq {\frac {p+q}{2}}\,$

Prova direta

$(p-q)^{2}\geq 0\,$

expandindo:

$p^{2}-2pq+q^{2}\geq 0\,$

somando 4pq a cada lado:

$p^{2}+2pq+q^{2}\geq 4pq\,$

fatorando:

$(p+q)^{2}\geq 4pq\,$

extraínda a raiz quadrada (aqui se usa que $p+q\geq 0\,$ e $pq\geq 0\,$):

$(p+q)\geq 2{\sqrt {pq}}\,$

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${\frac {p+q}{2}}\geq {\sqrt {pq}}\,$

o o resultado segue.

Prova por contradição

Suponha, por absurdo, que existem dois números reais não negativos p e q tais que:

${\sqrt {pq}}>{\frac {p+q}{2}}\,$

então, tomando quadrados, temos:

$pq>{\frac {(p+q)^{2}}{4}}\,$

o que implica:

$4pq>p^{2}+2pq+q^{2}\,$

ou, reescrevendo:

$0>p^{2}-2pq+q^{2}\,$

fatorando o lado direito:

$0>(p-q)^{2}\,$

o que é um absurdo pois :$(p-q)^{2}\geq 0\,$.