Produtório

Em matemática, produtório é a multiplicação de uma sequência de objetos matemáticos (números, funções, vetores, matrizes, etc.), chamados fatores, que tem como resultado o produto. É uma operação análoga ao somatório, embora seja menos utilizado quanto esse último. É representado pela letra grega pi maiúscula (Π). Dessa forma, o produtório da sequência $\{a,\ b,\ c,\ d,\ e\}$ é denotado pela sucessão das multiplicações entre fatores subsequentes, ou seja, $a\times b\times c\times d\times e$. Exemplificando com números: o produtório de $\{2,\ 4,\ 1,\ 3,\ 5\}$ é igual à $2\times 4\times 1\times 3\times 2=48$.

Notação

Notação pi maiúsculo

O produtório é denotado por Π (pi maiúsculo), sendo essa a décima sexta letra do alfabeto grego.

A notação utilizada para representar o produtório de termos similares é o pi maiúsculo ${\textstyle \prod }$. Dada uma sequência $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$, o produtório é definido como:

$$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\times x_{m+1}\times x_{m+2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n}$$

Onde $i$ é o índice do produtório; $x_{i}$ é uma variável indexada que representa cada termo do produtório; $m$ é o índice inicial (ou limite inferior), e $n$ é o índice final (ou limite superior). O índice $i$ começa igual ao limite inferior $m$ ("$i=m$") e é acrescido em uma unidade a cada fator iterativo subsequente, até que $i$ atinja o limite superior $n$ ("$i=n$"). A partir dessa definição, deduz-se que $i\in [m,\ n]$.

Propriedades

Sejam $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ e $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ sequências (por exemplo, numéricas), $a$, $b$ e $k$ escalares e $t$ o número de fatores iterativos gerados na expressão resultante, temos as seguintes propriedades:

1. $\prod _{i=m}^{n}x_{i}y_{i}=\prod _{i=m}^{n}x_{i}\prod _{i=m}^{n}y_{i}$
2. $\prod _{i=m}^{n}ax_{i}=a^{t}\prod _{i=m}^{n}x_{i}$
3. $\prod _{i=m}^{n}a=a^{t}$
4. $\prod _{i=1}^{n}i=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n=n!$
5. $\prod _{i=m}^{n}a^{x_{i}}=a^{x_{m}}\times a^{x_{m+1}}\times a^{x_{m+2}}\times \cdots \times a^{x_{n-1}}\times a^{x_{n}}=a^{\left(\sum _{i=m}^{n}x_{i}\right)}$, onde $a>0$.
6. $\prod _{i=m}^{n}(x_{i})^{k}={\Bigl (}\prod _{i=m}^{n}x_{i}{\Bigr )}^{k}$
7. $\log _{b}\prod _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m}^{n}\log _{b}x_{i},\ \forall x_{i}>0$

Número de fatores iterativos

O número de fatores iterativos é o total de fatores repetitivos na expressão resultante da expansão do produtório. Como o produtório é a multiplicação de vários elementos, é incorreto chamar cada fator de "termo", como fazemos no somatório, já que poderíamos considerar toda a expressão final como um termo apenas, dado que todos os objetos estão se multiplicando. Deve-se ter em mente que o número de fatores não diz respeito ao produtório em si, mas sim ao número de iterações dos termos da sequência que está sendo multiplicada, ou seja, quantos valores distintos o índice $i$ pode assumir, dado que $i\in [m,\ n]$. Por isso, quando expandimos o produtório, é comum representarmos cada fator iterativo gerado pelo incremento do índice $i$ entre parênteses, sem alterar o valor da expressão devido à propriedade associativa da multiplicação.

O número de iterações é dado por $t=n+1-m-r$, onde:

$t$ é o número de fatores iterativos da expressão resultante;

$n$ é o índice final (ou limite superior);

$m$ é o índice inicial (ou limite inferior);

$r$ é o número de restrições sobre o intervalo $[m,\ n]$.

É relevante saber o número de fatores iterativos em alguns casos, pois algumas propriedades utilizam o número de iterações do produtório, que geralmente é igual ao limite superior $n$, entretanto, isso pode variar quando $m\neq 1$ ou quando temos restrições no intervalo $[m,\ n]$.

Exemplo: $\prod _{i=1}^{4}3i=3(1)\times 3(2)\times 3(3)\times 3(4)=3\times 6\times 9\times 12$

Observe que o produtório gerou quatro iterações com o fator $3i$. Nesse caso, o número de iterações é igual ao limite superior "$t=n=4$", isso porque $m=1$ e não temos restrições sobre o intervalo $[1,\ 4]$. Isso corrobora a fórmula $t=n+1-m-r$:

$t=n+1-m-r=4+1-1-0$

$=4$

Exemplo 2: $\prod _{i=0}^{4}2i-1=[2(0)-1]\times [2(1)-1]\times [2(2)-1]\times [2(3)-1]\times [2(4)-1]=(-1)\times 1\times 3\times 5\times 7$

Agora observe que o produtório gerou cinco iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "$5\neq 4\Rightarrow t\neq n$" porque $m\neq 1$; não há restrições sobre o intervalo $[0,\ 4]$. Isso também é verdade segundo a fórmula:

$t=n+1-m-r=4+1-0-0$

$=5$

Exemplo 3: $\prod _{i=1}^{3}{\frac {2x}{(i-2)}}={\Bigl (}{\frac {2x}{1-2}}{\Bigl )}\times {\Bigl (}{\frac {2x}{3-2}}{\Bigl )}=(-2x)\times 2x,$ para $i\neq 2$.

Observe agora que o produtório gerou duas iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "$2\neq 3\Rightarrow t\neq n$" porque agora temos uma restrição ao intervalo $[1,\ 3]$, dado que $i\neq 2$. Utilizando a fórmula:

$t=n+1-m-r=3+1-1-1$

$=2$

Observação: o número de iterações não necessariamente será igual ao número de fatores da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as restrições $r$ pertencem ao intervalo $[m,\ n]$, caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).