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Produtório

Em matemática, produtório é a multiplicação de uma sequência de objetos matemáticos (números, funções, vetores, matrizes, etc.), chamados fatores, que tem como resultado o produto[1][2]. É uma operação análoga ao somatório, embora seja menos utilizado quanto esse último. É representado pela letra grega pi maiúscula (Π). Dessa forma, o produtório da sequência é denotado pela sucessão das multiplicações entre fatores subsequentes, ou seja, . Exemplificando com números: o produtório de é igual à .

Notação

Notação pi maiúsculo

O produtório geralmente é simbolizado pela letra grega Pi maiúsculo, décima sexta letra do alfabeto grego.
O produtório é denotado por Π (pi maiúsculo), sendo essa a décima sexta letra do alfabeto grego.

A notação utilizada para representar o produtório de termos similares é o pi maiúsculo . Dada uma sequência , o produtório é definido como:

Onde é o índice do produtório; é uma variável indexada que representa cada termo do produtório; é o índice inicial (ou limite inferior), e é o índice final (ou limite superior). O índice começa igual ao limite inferior ("") e é acrescido em uma unidade a cada fator iterativo subsequente, até que atinja o limite superior (""). A partir dessa definição, deduz-se que .

Propriedades

Sejam e sequências (por exemplo, numéricas), , e escalares e o número de fatores iterativos gerados na expressão resultante, temos as seguintes propriedades[2][3]:

  1. , onde .

Número de fatores iterativos

O número de fatores iterativos é o total de fatores repetitivos na expressão resultante da expansão do produtório. Como o produtório é a multiplicação de vários elementos, é incorreto chamar cada fator de "termo", como fazemos no somatório, já que poderíamos considerar toda a expressão final como um termo apenas, dado que todos os objetos estão se multiplicando. Deve-se ter em mente que o número de fatores não diz respeito ao produtório em si, mas sim ao número de iterações dos termos da sequência que está sendo multiplicada, ou seja, quantos valores distintos o índice pode assumir, dado que . Por isso, quando expandimos o produtório, é comum representarmos cada fator iterativo gerado pelo incremento do índice entre parênteses, sem alterar o valor da expressão devido à propriedade associativa da multiplicação[2].

O número de iterações é dado por , onde:

é o número de fatores iterativos da expressão resultante;

é o índice final (ou limite superior);

é o índice inicial (ou limite inferior);

é o número de restrições sobre o intervalo .

É relevante saber o número de fatores iterativos em alguns casos, pois algumas propriedades utilizam o número de iterações do produtório, que geralmente é igual ao limite superior , entretanto, isso pode variar quando ou quando temos restrições no intervalo .

Exemplo:

Observe que o produtório gerou quatro iterações com o fator . Nesse caso, o número de iterações é igual ao limite superior "", isso porque e não temos restrições sobre o intervalo . Isso corrobora a fórmula :

Exemplo 2:

Agora observe que o produtório gerou cinco iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "" porque ; não há restrições sobre o intervalo . Isso também é verdade segundo a fórmula:

Exemplo 3: para .

Observe agora que o produtório gerou duas iterações. Nesse caso, o número de iterações é diferente do limite superior "" porque agora temos uma restrição ao intervalo , dado que . Utilizando a fórmula:

Observação: o número de iterações não necessariamente será igual ao número de fatores da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as restrições pertencem ao intervalo , caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).

Referências

  1. «Notações de Somatório e Produtório». O Blog do Mestre. 19 out. 2013. Consultado em 28 ago. 2020 
  2. 2,0 2,1 2,2 SILVA, Anderson R. «Estatística Básica: Somatório e Produtório» (PDF). Weebly. Consultado em 28 ago. 2020 
  3. ARAÚJO, Aldrovando L. A. (2010). «Fundamentos da Matemática II» (PDF). Universidade Federal de Santa Catarina. Consultado em 28 ago. 2020 
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